İçerik

• adımlar
• Bölüm 1 / 2: Temel Bilgiler
• Bölüm 2/2: SLAE'leri Çözmek için Genişletilmiş Matris Dönüşümü
• İpuçları

Bir denklem sistemi, ortak bir bilinmeyenler kümesi ve dolayısıyla ortak bir çözümü olan iki veya daha fazla denklem kümesidir. Lineer denklem sisteminin grafiği iki düz çizgidir ve sistemin çözümü bu düz çizgilerin kesişme noktasıdır. Bu tür lineer denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanmak faydalı ve uygundur.

adımlar

Bölüm 1 / 2: Temel Bilgiler

1. 1 terminoloji. Lineer denklem sistemleri çeşitli bileşenlerden oluşur. Bir değişken alfabetik bir karakterle (genellikle x veya y) gösterilir ve henüz bilmediğiniz ve bulmanız gereken bir sayı anlamına gelir. Sabit, değerini değiştirmeyen belirli bir sayıdır.Katsayı, değişkenin önündeki sayıdır, yani değişkenin çarpıldığı sayıdır.
   • Örneğin, doğrusal bir denklem için 2x + 4y = 8, x ve y değişken, 8 sabit ve 2 ve 4 katsayılardır.
2. 2 Lineer denklem sistemi için form. İki değişkenli bir lineer cebirsel denklem sistemi (SLAE) şu şekilde yazılabilir: ax + by = p, cx + dy = q. Herhangi bir sabit (p, q) sıfır olabilir, ancak denklemlerin her biri en az bir değişken (x, y) içermelidir.
3. 3 Matris ifadeleri. Herhangi bir SLAE matris biçiminde yazılabilir ve ardından matrislerin cebirsel özelliklerini kullanarak onu çözebilir. Matris biçiminde bir denklem sistemi yazarken, A matrisin katsayılarını temsil eder, C sabit matrisleri temsil eder ve X bilinmeyen bir matrisi gösterir.
   • Örneğin, yukarıdaki SLAE aşağıdaki matris biçiminde yeniden yazılabilir: A x X = C.
4. 4 Genişletilmiş matris. Genişletilmiş matris, serbest terimler (sabitler) matrisinin sol tarafa aktarılmasıyla elde edilir. A ve C olmak üzere iki matrisiniz varsa, genişletilmiş matris şöyle görünecektir:
   • Örneğin, aşağıdaki lineer denklem sistemi için:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Genişletilmiş matris 2x3 olacak ve şöyle görünecek:

Bölüm 2/2: SLAE'leri Çözmek için Genişletilmiş Matris Dönüşümü

1. 1 Temel işlemler. Bir matris üzerinde belirli işlemleri gerçekleştirebilir, böylece orijinaline eşdeğer bir matris elde edebilirsiniz. Bu tür işlemlere temel denir. Örneğin 2x3'lük bir matrisi çözmek için matrisi üçgen şekle getirmek için satır işlemleri yapmanız gerekir. Bu tür işlemler şunlar olabilir:
   • iki satırın permütasyonu.
   • bir dizeyi sıfır olmayan bir sayı ile çarpma.
   • bir dizeyi çarpma ve diğerine ekleme.
2. 2 Sıfır olmayan bir sayı ile ikinci satırın çarpımı. İkinci satırda sıfır istiyorsanız, bunu mümkün kılmak için satırı çarpabilirsiniz.
   • Örneğin, şöyle bir matrisiniz varsa:
     
     
     İlk satırı tutabilir ve ikinci satırda sıfır almak için kullanabilirsiniz. Bunu yapmak için önce ikinci satırı 2 ile çarpmanız gerekir:
3. 3 Tekrar çarpın. İlk satır için sıfır almak için benzer manipülasyonları kullanarak tekrar çarpmanız gerekebilir.
   • Yukarıdaki örnekte, ikinci satırı -1 ile çarpmanız gerekir:
     
     
     Çarpma işleminden sonra matris şöyle görünecektir:
4. 4 İlk satırı ikinciye ekleyin. İlk sütun ve ikinci satırın yerine sıfır almak için satırları ekleyin.
   • Örneğimizde, aşağıdakileri elde etmek için her iki satırı da ekleyin:
5. 5 Üçgen matris için yeni bir lineer denklem sistemi yazın. Üçgen matrisi elde ettiğinizde, SLAE'ye geri dönebilirsiniz. Matrisin ilk sütunu bilinmeyen değişken x'e, ikincisi ise bilinmeyen değişken y'ye karşılık gelir. Üçüncü sütun, denklemin kesişim noktasına karşılık gelir.
   • Örneğimiz için, yeni lineer denklem sistemi şu şekli alacaktır:
6. 6 Değişkenlerden biri için denklemi çözün. Yeni SLAE'de, denklemi bulmanın ve çözmenin en kolay değişkenini belirleyin.
   • Örneğimizde, sondan, yani son denklemden birinciye, aşağıdan yukarıya doğru hareket ederek çözmek daha uygundur. İkinci denklemden, x'ten kurtulduğumuza göre, y = 2 olduğundan, y için kolayca bir çözüm bulabiliriz.
7. 7 İkinci bilinmeyeni ikame yöntemiyle bulun. Değişkenlerden birini bulduğunuzda, ikinci değişkeni bulmak için onu ikinci denkleme ekleyebilirsiniz.
   • Örneğimizde, bilinmeyen x'i bulmak için ilk denklemde y'yi 2 ile değiştirin:

İpuçları

• Matris elemanlarına genel olarak skaler denir.
• 2x3'lük bir matrisi çözmek için temel satır işlemlerini yapmanız gerekir. Bu işlemleri sütunlar üzerinde yapamazsınız.