Çarpan ikinci dereceden denklemler

Video: 2.Dereceden Denklemler | Pdf | Öğrenme Garantili | #2022tayfa | 10.Sınıf

İçerik

Adım atmak
Başlangıç
Yöntem 1/6: Deneme ve Hata
Yöntem 2/6: Ayrıştırma
Yöntem 3/6: Üçlü Oyun
Yöntem 4/6: İki kare arasındaki fark
Yöntem 5/6: ABC formülü
Yöntem 6/6: Hesap makinesi kullanma
İpuçları
Uyarılar
Gereklilikler

Bir polinom, belirli bir kuvvete kadar bir değişken (x) ve birkaç terim ve / veya sabit içerir. Bir polinomu çarpanlarına ayırmak için, ifadeyi birlikte çarpılan daha küçük ifadelere bölmeniz gerekir. Bu, belirli bir matematik seviyesi gerektirir ve bu nedenle, henüz o kadar uzakta değilseniz, anlamak zor olabilir.

Adım atmak

Başlangıç

Denklem. İkinci dereceden bir denklemin standart biçimi şöyledir:

ax + bx + c = 0
Denkleminizdeki terimleri en yüksekten en düşük güce doğru düzenleyerek başlayın. Örneğin, şunu al:

6 + 6x + 13x = 0
Bu ifadeyi yeniden sıralayacağız, böylece çalışmayı daha kolay hale getireceğiz - sadece terimleri hareket ettirerek:

6x + 13x + 6 = 0
Aşağıdaki yöntemlerden birini kullanarak faktörleri bulun. Polinomu çarpanlarına ayırmak, orijinal polinomu elde etmek için birlikte çarpılabilen iki küçük ifade ile sonuçlanacaktır:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Bu örnekte, (2x +3) ve (3x + 2) faktörler orijinal ifadeden, 6x + 13x + 6.
İşini kontrol et! Bulduğunuz faktörleri çarpın. Aynı terimleri birleştirin ve bitirdiniz. İle başla:

(2x + 3) (3x + 2)
Bunu, EBBL'yi (birinci - dış - iç - son) kullanarak çarparak test edelim, bu bize şunu verir:

6x + 4x + 9x + 6
Şimdi 4x ve 9x'i birlikte ekliyoruz çünkü bunlar eşit terimlerdir. Faktörlerin doğru olduğunu biliyoruz çünkü başladığımız denklemi geri alıyoruz:

6x + 13x + 6

Yöntem 1/6: Deneme ve Hata

Oldukça basit bir polinomunuz varsa, faktörlerin ne olduğunu hemen görebilirsiniz. Örneğin, biraz pratik yaptıktan sonra, birçok matematikçi ifadeyi görebilir. 4x + 4x + 1 (2x + 1) ve (2x + 1) faktörlerine sahiptir çünkü bunu birçok kez görmüşlerdir. (Açıkçası, daha karmaşık polinomlarda bu o kadar kolay olmayacak.) Bu örnek için daha az standart bir ifade alalım:

3x + 2x - 8

Faktörlerini yazınız. a terim ve c terim. Biçimi kullanın ax + bx + c = 0tanımak a ve c şartlar ve hangi faktörlerin olduğunu not edin. 3x + 2x - 8 için bunun anlamı:

a = 3 ve 1 çift faktöre sahiptir: 1 * 3
c = -8 ve bunun 4 çift faktörü vardır: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ve -1 * 8.
Boşluklu iki çift parantez yazın. Burada her ifadenin sabitlerini girersiniz:

(x) (x)
X'lerin önündeki boşluğu aşağıdaki olası faktörlerle doldurun a değer. İçin a Örneğimizde 3x terimi, sadece 1 olasılık vardır:

(3x) (1x)
Sabitler için x'lerden sonraki 2 boşluğu birkaç faktörle doldurun. 8 ve 1'i seçtiğimizi varsayalım. Bunu girin:

(3x8) (X1)
Hangi işaretlerin (artı veya eksi) x değişkenleri ve sayılar arasında olması gerektiğini belirleyin. Orijinal ifadenin karakterlerine bağlı olarak sabitlerin karakterlerinin ne olması gerektiğini bulmak mümkündür. İki faktörün iki sabitini alalım h ve k bahsetmek:

Ax + bx + c ise (x + h) (x + k)
Ax - bx - c veya ax + bx - c ise (x - h) (x + k)
Ax - bx + c ise (x - h) (x - k)
Örneğimizde, 3x + 2x - 8, işaret: (x - h) (x + k) olup bize aşağıdaki iki faktörü verir:

(3x + 8) ve (x - 1)
Seçiminizi ilk-dış-iç-son çarpma ile test edin. Orta terimin en azından doğru değer olup olmadığını görmek için hızlı bir ilk test. Değilse, muhtemelen yanlış olana sahipsiniz c seçilen faktörler. Cevabı test edelim:

(3x + 8) (x - 1)
Çarpma ile şunu elde ederiz:

3x - 3x + 8x - 8
Benzer terimleri (-3x) ve (8x) ekleyerek bu ifadeyi basitleştirin ve şunu elde ederiz:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Artık yanlış faktörleri aldığımızı biliyoruz:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Gerekirse seçimlerinizi değiştirin. Örneğimizde 1 ve 8 yerine 2 ve 4'ü deneyelim:

(3x + 2) (x - 4)
Şimdi bizim c terim -8'e eşittir, ancak (3x * -4) ve (2 * x) 'in dış / iç çarpımı -12x ve 2x'tir, bu doğru değildir b terim veya + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Gerekirse sırayı tersine çevirin. 2 ve 4'ü çevirmeyi deneyelim:

(3x + 4) (x - 2)
Şimdi bizim c terim (4 * 2 = 8) ve yine de iyi, ancak dış / iç çarpımlar -6x ve 4x. Bunları birleştirdiğimizde elde ederiz:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Şimdi olmak istediğimiz yerde 2x'e oldukça yaklaşıyoruz, ancak işaret henüz doğru değil.
Gerekirse karakterlerinizi iki kez kontrol edin. Bu sırayı koruyoruz, ancak bunu eksi işaretiyle değiştiriyoruz:

(3x - 4) (x + 2)
Şimdi c terim hala tamam ve dış / iç çarpımlar artık (6x) ve (-4x). Çünkü:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Şimdi orijinal problemden pozitif 2x geri görüyoruz. Bunlar doğru faktörler olmalı.

Yöntem 2/6: Ayrıştırma

Bu yöntem, tüm olası faktörlerini verir a ve c hangi faktörlerin doğru olduğunu bulmak için bunları kullanır. Sayılar çok büyükse veya diğer yöntemlerin tahmin edilmesi çok uzun sürecekse, bu yolu kullanın. Bir örnek:

6x + 13x + 6

Çarpın a ile terim c terim. Bu örnekte, a 6 ve c ayrıca 6.

6 * 6 = 36
Bul b çarpanlara ayırma ve test etme ile terim. Çarpanları olan 2 sayı arıyoruz a * c ve birlikte b dönem (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Denkleminizde aldığınız iki sayıyı, toplamı olarak değiştirin. b terim. Haydi k ve h Elimizdeki 2 sayıyı temsil etmek için, 4 ve 9:

balta + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Gruplandırarak polinomu çarpanlara ayırın. Denklemi düzenleyin, böylece ilk iki terim ile son iki terimin en büyük ortak böleni ayırabilirsiniz. Her iki faktör de aynı olmalıdır. GGD'leri bir araya toplayın ve faktörlerin yanına parantez içine koyun; sonuç olarak iki faktörü elde edersiniz:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Yöntem 3/6: Üçlü Oyun

Ayrıştırma yöntemine benzer. "Üçlü oyun" yöntemi, ürünün olası faktörlerini inceler: a ve c ve ne olduğunu bulmak için kullan b olmalıdır. Denklemi örnek olarak alın:

8x + 10x + 2

Çarpın a ile terim c terim. Ayrıştırma yönteminde olduğu gibi, bu yöntem için adayları belirlemek için kullanıyoruz. b terim. Bu örnekte: a 8 ve c 2'dir.

8 * 2 = 16
Çarpım olarak bu sayıyı ve toplamı şuna eşit olan 2 sayıyı bulun. b terim. Bu adım ayrıştırma yöntemiyle aynıdır - sabitler için adayları test ederiz. Ürünü a ve c terimler 16 ve c terim 10'dur:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Bu 2 sayıyı alın ve "üçlü oyun" formülünde yerlerine koyun. Önceki adımdaki 2 sayıyı alın - hadi onları alalım h ve k onları arayın - ve ifadeye koyun:

((ax + h) (ax + k)) / bir

Bununla şunları elde ederiz:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Paydadaki iki terimden hangisinin tam olarak bölünebileceğini görün a. Bu örnekte, (8x + 8) veya (8x + 2) 'nin 8'e bölünüp bölünemeyeceğine bakıyoruz. (8x + 8) 8'e bölünebilir, bu yüzden bu terimi böleriz a ve diğerini etkilenmeden bırakırız.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Burada tuttuğumuz terim, böldükten sonra kalan terimdir. a terim: (x + 1)
Mümkünse en büyük ortak böleni (gcd) bir veya iki terimden alın. Bu örnekte, ikinci terimin gcd'sinin 2 olduğunu görüyoruz, çünkü 8x + 2 = 2 (4x + 1). Bu yanıtı önceki adımda keşfettiğiniz terimle birleştirin. Bunlar karşılaştırmanızın faktörleri.

2 (x + 1) (4x + 1)

Yöntem 4/6: İki kare arasındaki fark

Bir polinomdaki bazı katsayıları "kareler" veya aynı zamanda 2 özdeş sayının çarpımı olarak tanıyabilirsiniz. Hangi karelerin olduğunu bularak, polinomları çok daha hızlı çarpanlarına ayırabilirsiniz. Denklemi alıyoruz:

27x - 12 = 0

Mümkünse denklemden gcd'yi çıkarın. Bu durumda 27 ve 12'nin her ikisinin de 3'e bölünebileceğini görüyoruz, bu yüzden onları ayrı ayrı yerleştirebiliriz:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Denkleminizin katsayılarının kare olup olmadığını belirleyin. Bu yöntemi kullanmak için terimlerin kökenini belirlemek gerekir. (Eksi işaretlerini atladığımızı unutmayın - bu sayılar kareler olduğundan, 2 negatif sayının ürünü olabilirler)

9x = 3x * 3x ve 4 = 2 * 2
Artık belirlediğiniz karekökü kullanarak çarpanları yazabilirsiniz. Biz alırız a ve c önceki adımdaki değerler: a = 9 ve c = 4, dolayısıyla bunun kökleri: - √a = 3 ve √c = 2. Bunlar çarpanlara ayrılmış ifadelerin katsayılarıdır:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Yöntem 5/6: ABC formülü

Hiçbir şey işe yaramıyorsa ve denklemi çözemezseniz, abc formülünü kullanın. Aşağıdaki örneği ele alalım:

x + 4x + 1 = 0

Abc formülüne karşılık gelen değerleri girin:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Şimdi ifadeyi alıyoruz:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
X için çözün. Şimdi x için 2 değer almalısınız. Bunlar:

x = -2 + √ (3) veya x = -2 - √ (3)
Faktörleri belirlemek için x değerlerini kullanın. İki denklemde elde edilen x değerlerini sabit olarak girin. Bunlar sizin faktörlerinizdir. İkisine cevap verirsek h ve k iki faktörü şu şekilde yazıyoruz:

(x - h) (x - k)
Bu durumda son cevap şudur:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Yöntem 6/6: Hesap makinesi kullanma

Bir grafik hesap makinesi kullanmaya izin verilirse (veya zorunluysa), bu, özellikle sınavlar ve sınavlar için faktoring işlemini çok daha kolay hale getirir. Aşağıdaki talimatlar bir TI grafik hesaplayıcı içindir. Örnekteki denklemi kullanıyoruz:

y = x - x - 2

Denklemi hesap makinenize girin. [Y =] ekranı olarak da bilinen denklem çözücüyü kullanacaksınız.
Hesap makinesi ile denklemin grafiğini çizin. Denklemi girdikten sonra, [GRAPH] tuşuna basın - şimdi denkleminizin grafiksel temsili olarak eğri bir çizgi, bir parabol görmelisiniz (ve bu bir paraboldür çünkü bir polinomla uğraşıyoruz).
Parabolün x ekseni ile nerede kesiştiğini bulun. İkinci dereceden bir denklem geleneksel olarak ax + bx + c = 0 olarak yazıldığından, bunlar denklemi sıfıra eşit yapan iki x değeridir:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Parabolün x ekseni ile nerede kesiştiğini göremiyorsanız, [2.] ve ardından [TRACE] tuşuna basın. [2] 'ye basın veya "sıfır" ı seçin. İmleci bir kavşağın soluna hareket ettirin ve [ENTER] tuşuna basın. İmleci bir kavşağın sağına getirin ve [ENTER] tuşuna basın. İmleci kesişim noktasına olabildiğince yakın hareket ettirin ve [ENTER] tuşuna basın. Hesap makinesi x değerini gösterecektir. Bunu diğer kavşak için de yapın.
Elde ettiğiniz x değerlerini iki faktörlü ifadeye girin. İki x değerini alırsak h ve k bir terim olarak kullandığımız ifade şuna benzer:

(x - h) (x - k) = 0
Böylece iki faktörümüz şu hale gelir:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

İpuçları

Polinomu abc formülüyle çarpanlarına ayırdıysanız ve cevabınız kökler içeriyorsa, kontrol etmek için x değerlerini kesirlere dönüştürebilirsiniz.
Bir terimin önünde katsayısı yoksa, katsayı 1'e eşittir, örneğin x = 1x.
Bir TI-84 hesap makineniz varsa, sizin için ikinci dereceden bir denklemi çözebilecek SOLVER adında bir program vardır. Aynı zamanda daha yüksek dereceli polinomları da çözer.
Çok fazla pratik yaptıktan sonra, sonunda polinomları ezbere çözebileceksiniz. Ancak güvenli tarafta olmak için her zaman bunları yazmak daha iyidir.
Bir terim yoksa, katsayı sıfırdır. O zaman denklemi yeniden yazmak faydalı olabilir. Örneğin. x + 6 = x + 0x + 6.

Uyarılar

Bu kavramı matematik dersinde öğreniyorsanız, öğretmenin ne anlattığına dikkat edin ve sadece kendi favori yönteminizi kullanmayın. Bir test için belirli bir yöntem kullanmanız istenebilir veya grafik hesap makinelerine izin verilmeyebilir.