İçerik

• Adım atmak
• Yöntem 1/3: İkame yöntemini kullanma
• Yöntem 2/3: Eliminasyon yöntemini kullanma
• Yöntem 3/3: Denklemlerin grafiğini çizin
• İpuçları
• Uyarılar

"Denklemler sisteminde" iki veya daha fazla denklemi aynı anda çözmeniz istenir. Bu ikisi x ve y veya a ve b gibi farklı değişkenler içerdiğinde, bunları nasıl çözeceğinizi ilk bakışta görmek zor olabilir. Neyse ki, ne yapacağınızı öğrendikten sonra, sorunu çözmek için yalnızca bazı temel matematik becerilerine (ve bazen de bazı kesir bilgilerine) ihtiyacınız var. Gerekirse veya görsel bir öğrenciyseniz, denklemlerin nasıl grafiğini çizeceğinizi de öğrenin. Bir grafiğin grafiğini çizmek (çizmek), "neler olup bittiğini görmek" veya çalışmanızı kontrol etmek için yararlı olabilir, ancak diğer yöntemlerden daha yavaş da olabilir ve tüm denklem sistemlerinde çalışmaz.

Adım atmak

Yöntem 1/3: İkame yöntemini kullanma

1. Değişkenleri denklemin farklı taraflarına taşıyın. Bu "ikame" yöntemi, denklemlerden birinde "x için çözme" (veya başka bir değişken) ile başlar. Örneğin, aşağıdaki denklemlere sahibiz: 4x + 2y = 8 ve 5x + 3x = 9. Her şeyden önce, ilk karşılaştırmaya bakıyoruz. Her iki taraftan 2y çıkararak yeniden düzenleyin ve şunu elde edin: 4x = 8-2y.
   • Bu yöntem genellikle daha sonraki bir aşamada kesirleri kullanır. Kesirlerle çalışmamayı tercih ediyorsanız aşağıdaki eleme yöntemini de kullanabilirsiniz.
2. "X" i bulmak için denklemin iki tarafını da bölün. Denklemin bir tarafında x terimini (veya hangi değişkeni kullanırsanız) bulundurduğunuzda, değişkeni izole etmek için denklemin her iki tarafını da bölün. Örneğin:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Bunu diğer denkleme geri koy. Döndüğünüzden emin olun. Diğerleri karşılaştırma, daha önce kullandığınız değil. Bu denklemde çözdüğünüz değişkeni değiştirirsiniz ve geriye yalnızca bir değişken kalır. Örneğin:
   • Artık şunu biliyorsun: x = 2 - ½y.
   • Henüz değiştirmediğiniz ikinci denklem: 5x + 3x = 9.
   • İkinci denklemde, x'i "2 - ½y" ile değiştirin: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Kalan değişkeni çözün. Artık tek değişkenli bir denkleminiz var. Bu değişkeni çözmek için yaygın cebir tekniklerini kullanın. Değişkenler birbirini iptal ederse, son adıma atlayın. Aksi takdirde, değişkenlerinizden birinin cevabını alırsınız:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Bu adımı anlamıyorsanız, kesirleri nasıl ekleyeceğinizi öğrenin. Bu genellikle, ancak her zaman değil, bu yöntemde gereklidir).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Diğer değişkeni çözmek için cevabı kullanın. Problemi yarı yolda bitirme hatasına düşmeyin. Diğer değişkeni çözebilmek için aldığınız cevabı orijinal denklemlerden birine tekrar girmeniz gerekecek:
   • Artık şunu biliyorsun: y = -2
   • Orijinal denklemlerden biri: 4x + 2y = 8. (Bu adım için her iki denklem de kullanılabilir).
   • Y yerine -2 ekleyin: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Her iki değişken de birbirini götürürse ne yapacağınızı bilin. Sen ne zaman x = 3y + 2 veya diğer denklemde benzer bir cevap alırsanız, tek değişkenli bir denklem elde etmeye çalışıyorsunuz. Bazen bunun yerine bir denklemle sonuçlanırsın olmadan değişkenler. Çalışmanızı iki kez kontrol edin ve (yeniden düzenlenmiş) ilk denklemi ikinci denklemde değiştirdiğinizden ve ilk denklemi değiştirdiğinizden emin olun. Herhangi bir hata yapmadığınızdan eminseniz, aşağıdaki sonuçlardan birini alacaksınız:
   • Değişkeni olmayan ve doğru olmayan bir denklem elde ederseniz (ör. 3 = 5), probleminiz var çözüm yok. (Denklemlerin grafiğini çizdiyseniz, paralel olduklarını ve asla kesişmediklerini göreceksiniz).
   • Değişkeni olmayan bir denklem elde ederseniz, ancak bunlar iyi doğrudur (örneğin, 3 = 3), o zaman sorun var sonsuz sayıda çözüm. İki denklem tam olarak eşittir. (İki denklemin grafiğini çizerseniz, tam olarak örtüştüğünü göreceksiniz).

Yöntem 2/3: Eliminasyon yöntemini kullanma

1. Elimine edilecek değişkeni belirler. Bazen denklemler, siz onları bir araya toparlamaz, bir değişkendeki birbirlerini "ortadan kaldırır". Örneğin, denklemleri yaptığınızda 3x + 2y = 11 ve 5x - 2y = 13 birleşir, "+ 2y" ve "-2y" birbirlerini iptal eder, tümü "y" iledenklemden çıkarılır. Değişkenlerden herhangi birinin bu şekilde ortadan kaldırılıp kaldırılmayacağını anlamak için probleminizdeki denklemlere bakın. Değişkenlerden hiçbiri elenmemişse, tavsiye için bir sonraki adımı okuyun.
2. Bir değişkeni iptal etmek için bir denklemi çarpın. (Değişkenler zaten birbirini ortadan kaldırdıysa bu adımı atlayın). Denklemlerdeki değişkenlerin hiçbiri kendiliğinden kalkmazsa, o zaman denklemlerden birini değiştirmek zorunda kalırsınız. Bu, bir örnekle anlaşılması en kolay yoldur:
   • Denklemler sistemine sahip olduğunuzu varsayalım 3x - y = 3 ve -x + 2y = 4.
   • İlk denklemi değişkeni olacak şekilde değiştirelim y elimine edilir. (Bunu şunun için de yapabilirsiniz: X yapın ve aynı cevabı alın).
   • The - y " ilk denklemin + 2y İkinci denklemde. Bunu şu şekilde yapabiliriz - y 2 ile çarpın.
   • İlk denklemin her iki tarafını da aşağıdaki gibi 2 ile çarparız: 2 (3x - y) = 2 (3), ve böylece 6x - 2y = 6. Şimdi olacak - 2 yıl karşı düşmek + 2y ikinci denklemde.
3. İki denklemi birleştirin. İki denklemi birleştirebilmek için sol ve sağ tarafları birbirine ekleyin. Denklemi doğru yazdıysanız, değişkenlerden biri diğerine göre birbirini götürmelidir. İşte son adımla aynı denklemleri kullanan bir örnek:
   • Denklemleriniz: 6x - 2y = 6 ve -x + 2y = 4.
   • Sol tarafları birleştirin: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Doğru tarafları birleştirin: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Son değişkeni çözün. Birleşik denklemi basitleştirin ve ardından son değişkeni çözmek için temel cebiri kullanın. Basitleştirmeden sonra kalan değişken yoksa, bu bölümdeki son adıma geçin.. Aksi takdirde, değişkenlerinizden birine basit bir cevap vermelisiniz. Örneğin:
   • Var: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Değişkenleri gruplandırın X ve y birbirleriyle: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Basitleştirin: 5x = 10
   • X için çözün: (5x) / 5 = 10/5, Böylece x = 2.
5. Diğer değişkenleri çözün. Bir değişken buldunuz, ancak henüz tam olarak bitirmediniz. Cevabınızı orijinal denklemlerden birine koyun, böylece diğer değişkeni çözebilirsiniz. Örneğin:
   • Bunu biliyorsun x = 2ve bu sizin orijinal denklemlerinizden biri 3x - y = 3 dır-dir.
   • X yerine 2'yi takın: 3 (2) - y = 3.
   • Denklemde y'yi çözün: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, yani 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Her iki değişken de birbirini götürdüğünde ne yapacağınızı bilin. Bazen iki denklemi birleştirmek, hiçbir anlamı olmayan veya sorunu çözmenize yardımcı olmayan bir denklemle sonuçlanır. Çalışmanızı baştan iki kez kontrol edin, ancak bir hata yapmadıysanız, aşağıdaki cevaplardan birini yazın:
   • Birleştirilmiş denkleminizin değişkeni yoksa ve doğru değilse (2 = 7 gibi), o zaman vardır çözüm yok her iki denklem için de geçerlidir. (Her iki denklemin de grafiğini çizerseniz, paralel olduklarını ve asla kesişmediğini göreceksiniz).
   • Birleştirilmiş denkleminizin değişkeni yoksa ve doğruysa (0 = 0 gibi), o zaman sonsuz sayıda çözüm. İki denklem aslında aynıdır. (Bunları bir grafiğe yerleştirirseniz, birbirleriyle tamamen örtüştüğünü göreceksiniz).

Yöntem 3/3: Denklemlerin grafiğini çizin

1. Bu yöntemi yalnızca belirtildiğinde kullanın. Bir bilgisayar veya bir grafik hesap makinesi kullanmadığınız sürece, birçok denklem sistemi yalnızca bu yöntem kullanılarak yaklaşık olarak çözülebilir. Öğretmeniniz veya matematik ders kitabınız sizden bu yöntemi kullanmanızı isteyebilir, bu nedenle muhtemelen çizgiler gibi grafik denklemlere aşinasınızdır. Bu yöntemi, diğer yöntemlerden herhangi birinden aldığınız yanıtların doğru olup olmadığını kontrol etmek için de kullanabilirsiniz.
   • Temel fikir, her iki denklemin de grafiğini çizmeniz ve kesiştikleri noktayı belirlemenizdir. Bu noktadaki x ve y değerleri, denklem sistemindeki x'in değerini ve y'nin değerini verir.
2. Y için her iki denklemi de çözün. İki denklemi ayrı tutun ve her denklemi "y = __x + __" biçimine dönüştürmek için cebiri kullanın. Örneğin:
   • İlk denklem: 2x + y = 5. Bunu şu şekilde değiştirin: y = -2x + 5.
   • İkinci denklem: -3x + 6y = 0. Bunu şununla değiştir: 6y = 3x + 0ve basitleştirin y = ½x + 0.
   • Her iki denklem aynı mıbu durumda tüm çizgi bir "kesişme noktası" olur. Yazmak: sonsuz çözümler.
3. Bir koordinat sistemi çizin. Bir grafik kağıdına dikey bir "y ekseni" ve bir yatay "x ekseni" çizin. Çizgilerin kesiştiği noktadan başlayın ve 1, 2, 3, 4 vb. Sayıları y ekseninde yukarı ve x ekseni boyunca tekrar sağa etiketleyin. Y ekseni boyunca -1, -2, vb. Sayıları x ekseni boyunca aşağı ve sola etiketleyin.
   • Grafik kağıdınız yoksa, sayıların eşit aralıklarla yerleştirildiğinden emin olmak için bir cetvel kullanın.
   • Büyük sayılar veya ondalık basamaklar kullanıyorsanız, grafiği ölçeklendirmeniz gerekebilir. (Örneğin 1, 2, 3 yerine 10, 20, 30 veya 0.1, 0.2, 0.3).
4. Her çizgi için y kesişimini çizin. Formda bir denkleminiz olduğunda y = __x + __ Çizginin y ekseniyle kesiştiği bir nokta ayarlayarak grafiğini çizmeye başlayabilirsiniz. Bu her zaman bu denklemdeki son sayıya eşit bir y değerindedir.
   • Daha önce bahsedilen örneklerde bir satır (y = -2x + 5) y eksenine 5. Diğer satır (y = ½x + 0) sıfır noktasından geçer 0. (Bunlar grafikteki (0.5) ve (0.0) noktalardır).
   • Mümkünse, satırların her birini farklı bir renkle belirtin.
5. Çizgileri çizmeye devam etmek için eğimi kullanın. Şeklinde y = __x + __, x inci için sayıdır eğim hat dışı. Her x bir artırıldığında, y değeri eğimin değeri ile artacaktır. X = 1 olduğunda her bir çizgi için grafikteki noktayı bulmak için bu bilgiyi kullanın (Alternatif olarak, her denklem için x = 1'i koyun ve y'yi çözün).
   • Örneğimizde, satırda y = -2x + 5 eğimi -2. X = 1'de 2. çizgi alçalır aşağı x = 0 noktasından itibaren (0.5) ve (1.3) arasındaki doğru parçayı çizin.
   • Kural y = ½x + 0eğimi var ½. X = 1'de, çizgi ½ gider yukarı x = 0 noktasından itibaren (0,0) ve (1, ½) arasındaki doğru parçasını çizin.
   • Çizgiler aynı eğime sahip olduğunda çizgiler asla kesişmeyecektir, bu nedenle denklem sistemi için bir çözüm yoktur. Yazmak: çözüm yok.
6. Kesişene kadar çizgileri çizmeye devam edin. Durun ve haritanıza bakın. Çizgiler zaten birbirini geçmişse, bir sonraki adıma geçin. Aksi takdirde, satırların ne yaptığına bağlı olarak bir karar verirsiniz:
   • Çizgiler birbirine doğru hareket ederken, o yönde noktalar çizmeye devam edersiniz.
   • Çizgiler birbirinden uzaklaşıyorsa geri dönün ve x = -1'den başlayarak diğer yönde noktalar çizin.
   • Çizgiler birbirine yakın değilse, ileri atlayın ve x = 10 gibi daha uzak noktaları işaretleyin.
7. Cevabı çizgilerin kesiştiği yerde bulun. İki çizgi kesiştiğinde, o noktadaki x ve y değerleri sorunun çözümüdür. Şanslıysanız, cevap bir tam sayı olacaktır. Örneğin, örneklerimizde iki çizgi kesişiyor (2,1) cevabın da öyle x = 2 ve y = 1. Bazı denklem sistemlerinde, çizgiler iki tam sayı arasındaki bir değerde kesişir ve grafiğiniz son derece doğru değilse, bunun nerede olduğunu söylemek zor olacaktır. Bu durumda, "x, 1 ile 2 arasındadır" gibi bir cevap verebilirsiniz. Tam cevabı bulmak için ikame yöntemini veya eleme yöntemini de kullanabilirsiniz.

İpuçları

• Cevapları orijinal denklemlere tekrar girerek çalışmanızı kontrol edebilirsiniz. Denklemler doğruysa (örneğin, 3 = 3), cevabınız doğrudur.
• Eleme yönteminde, bazen bir değişkeni elemek için bir denklemi negatif bir sayıyla çarpmanız gerekir.

Uyarılar

• X gibi bir güç numarasıyla uğraşıyorsanız bu yöntemler kullanılamaz. Bu türden denklemler hakkında daha fazla bilgi edinmek için, iki değişkenli çarpanların karesini almak için bir rehbere ihtiyacınız olacak.