Doğrusal bir Diophant denklemi nasıl çözülür

Yazar: Mark Sanchez
Yaratılış Tarihi: 5 Ocak Ayı 2021
Güncelleme Tarihi: 1 Temmuz 2024
Anonim
8dk’da SAYI ÖRÜNTÜLERİ
Video: 8dk’da SAYI ÖRÜNTÜLERİ

İçerik

Doğrusal bir Diophant denklemini çözmek için, tamsayı olan "x" ve "y" değişkenlerinin değerlerini bulmanız gerekir. Bir tamsayı çözümü, normalden daha karmaşıktır ve belirli bir dizi eylem gerektirir. Öncelikle katsayıların en büyük ortak bölenini (GCD) hesaplamanız ve ardından bir çözüm bulmanız gerekir. Doğrusal bir denklemin bir tamsayı çözümünü bulduğunuzda, sonsuz sayıda başka çözüm bulmak için basit bir desen kullanabilirsiniz.

adımlar

Bölüm 1/4: Bir Denklem Nasıl Yazılır

  1. 1 Denklemi standart biçimde yazın. Doğrusal denklem, değişkenlerin üslerinin 1'i geçmediği bir denklemdir. Böyle bir doğrusal denklemi çözmek için önce standart biçimde yazın. Doğrusal bir denklemin standart formu şöyle görünür: Ax+By=C{ displaystyle Balta + By = C}, nerede A,B{ görüntü stili A, B} ve C{ görüntü stili C} - bütün sayılar.
    • Denklem farklı bir biçimde verilmişse, temel cebirsel işlemleri kullanarak onu standart forma getirin. Örneğin, verilen denklem 23x+4y−7x=−3y+15{ displaystyle 23x + 4y-7x = -3y + 15}... Benzer terimler verin ve denklemi şu şekilde yazın: 16x+7y=15{ görüntü stili 16x + 7y = 15}.
  2. 2 Denklemi basitleştirin (mümkünse). Denklemi standart formda yazarken katsayılara bakın A,B{ görüntü stili A, B} ve C{ görüntü stili C}... Bu oranların bir GCD'si varsa, üç oranı da buna bölün. Böyle basitleştirilmiş bir denklemin çözümü, orijinal denklemin de çözümü olacaktır.
    • Örneğin, üç katsayı da eşitse, bunları en az 2'ye bölün. Örneğin:
      • 42x+36y=48{ displaystyle 42x + 36y = 48} (tüm üyeler 2'ye tam bölünür)
      • 21x+18y=24{ displaystyle 21x + 18y = 24} (şimdi tüm üyeler 3'e bölünebilir)
      • 7x+6y=8{ displaystyle 7x + 6y = 8} (bu denklem artık basitleştirilemez)
  3. 3 Denklemin çözülüp çözülmediğini kontrol edin. Bazı durumlarda, denklemin çözümü olmadığını hemen belirtebilirsiniz. "C" katsayısı, "A" ve "B" katsayılarının OBEB'sine bölünemiyorsa, denklemin çözümü yoktur.
    • Örneğin, eğer her iki katsayı A{ görüntü stili A} ve B{ görüntü stili B} eşittir, o zaman katsayı C{ görüntü stili C} eşit olmalı. Ama eğer C{ görüntü stili C} garip, o zaman çözüm yok.
      • denklem 2x+4y=21{ displaystyle 2x + 4y = 21} tamsayı çözümleri yok.
      • denklem 5x+10y=17{ displaystyle 5x + 10y = 17} Denklemin sol tarafı 5'e bölünebildiği ve sağ tarafı bölünemediği için tamsayılı çözümler yoktur.

Bölüm 2/4: Öklid'in algoritması nasıl yazılır

  1. 1 Öklid'in algoritmasını anlayın. Önceki kalanın bir sonraki bölen olarak kullanıldığı tekrarlanan bölmeler dizisidir. Sayıları tam olarak bölen son bölen, iki sayının en büyük ortak bölenidir (GCD).
    • Örneğin, Euclid'in algoritmasını kullanarak 272 ve 36 numaralı GCD'yi bulalım:
      • 272=7∗36+20{ displaystyle 272 = 7 * 36 + 20} - Büyük sayıyı (272) küçük sayıya (36) bölün ve kalana (20) dikkat edin;
      • 36=1∗20+16{ displaystyle 36 = 1 * 20 + 16} - önceki böleni (36) önceki kalana (20) bölün. Yeni kalıntıya (16) dikkat edin;
      • 20=1∗16+4{ displaystyle 20 = 1 * 16 + 4} - önceki böleni (20) önceki kalana (16) bölün. Yeni kalıntıya (4) dikkat edin;
      • 16=4∗4+0{ displaystyle 16 = 4 * 4 + 0} - Bir önceki böleni (16) önceki kalana (4) bölün. Kalan 0 olduğundan, 4'ün orijinal iki sayı olan 272 ve 36'nın EBOB'u olduğunu söyleyebiliriz.
  2. 2 Öklid'in algoritmasını "A" ve "B" katsayılarına uygulayın. Doğrusal denklemi standart biçimde yazdığınızda, "A" ve "B" katsayılarını belirleyin ve ardından OBEB'yi bulmak için Öklid'in algoritmasını bunlara uygulayın. Örneğin, verilen bir lineer denklem 87x−64y=3{ displaystyle 87x-64y = 3}.
    • A = 87 ve B = 64 katsayıları için Euclid'in algoritması:
      • 87=1∗64+23{ displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}
      • 64=2∗23+18{ displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}
      • 23=1∗18+5{ displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}
      • 18=3∗5+3{ displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}
      • 5=1∗3+2{ displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}
      • 3=1∗2+1{ displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}
      • 2=2∗1+0{ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}
  3. 3 En Büyük Ortak Faktörü (GCD) bulun. Son bölen 1 olduğundan, OBEB 87 ve 64 1'dir. Dolayısıyla 87 ve 64 birbirine göre asal sayılardır.
  4. 4 Sonucu analiz edin. gcd katsayılarını bulduğunuzda A{ görüntü stili A} ve B{ görüntü stili B}, katsayı ile karşılaştırın C{ görüntü stili C} orijinal denklem. Eğer C{ görüntü stili C} gcd ile bölünebilir A{ görüntü stili A} ve B{ görüntü stili B}, denklemin bir tamsayı çözümü vardır; aksi halde denklemin çözümü yoktur.
    • Örneğin, denklem 87x−64y=3{ displaystyle 87x-64y = 3} 3 1'e bölünebildiği için çözülebilir (gcd = 1).
    • Örneğin, OBEB = 5 olduğunu varsayalım. 3, 5'e tam bölünemez, dolayısıyla bu denklemin tamsayı çözümü yoktur.
    • Aşağıda gösterildiği gibi, bir denklemin bir tamsayı çözümü varsa, sonsuz sayıda başka tamsayı çözümü de vardır.

Bölüm 3/4: Öklid Algoritmasını Kullanarak Çözüm Nasıl Bulunur?

  1. 1 GCD hesaplama adımlarını numaralandırın. Doğrusal bir denklemin çözümünü bulmak için, ikame ve sadeleştirme sürecinin temeli olarak Öklid algoritmasını kullanmanız gerekir.
    • GCD'yi hesaplama adımlarını numaralandırarak başlayın. Hesaplama işlemi şöyle görünür:
      • Aşama 1:87=(1∗64)+23{ displaystyle { metin {Adım 1}}: 87 = (1 * 64) +23}
      • Adım 2:64=(2∗23)+18{ displaystyle { metin {2. Adım}}: 64 = (2 * 23) +18}
      • Aşama 3:23=(1∗18)+5{ displaystyle { metin {Adım 3}}: 23 = (1 * 18) +5}
      • 4. Adım:18=(3∗5)+3{ displaystyle { metin {Adım 4}}: 18 = (3 * 5) +3}
      • Adım 5:5=(1∗3)+2{ displaystyle { metin {Adım 5}}: 5 = (1 * 3) +2}
      • 6. Adım:3=(1∗2)+1{ displaystyle { metin {Adım 6}}: 3 = (1 * 2) +1}
      • 7. Adım:2=(2∗1)+0{ displaystyle { metin {Adım 7}}: 2 = (2 * 1) +0}
  2. 2 Kalanın olduğu son adıma dikkat edin. Kalanı izole etmek için bu adımın denklemini yeniden yazın.
    • Örneğimizde, kalanlı son adım 6. adımdır. Kalan 1. adımdır. 6. adımdaki denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazın:
      • 1=3−(1∗2){ displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}
  3. 3 Önceki adımın kalanını ayırın. Bu süreç adım adım bir "yukarı hareket"tir. Her seferinde bir önceki adımdaki denklemde kalanları izole edeceksiniz.
    • Adım 5'te denklemin kalanını ayırın:
      • 2=5−(1∗3){ displaystyle 2 = 5- (1 * 3)} veya 2=5−3{ görüntü stili 2 = 5-3}
  4. 4 Değiştirin ve basitleştirin. Adım 6'daki denklemin 2 sayısını içerdiğine ve Adım 5'teki denklemde 2 sayısının izole edildiğine dikkat edin. Bu nedenle 6. adımdaki denklemde “2” yerine 5. adımdaki ifadeyi değiştirin:
    • 1=3−2{ görüntü stili 1 = 3-2} (6. adımın denklemi)
    • 1=3−(5−3){ görüntü stili 1 = 3- (5-3)} (2 yerine bir ifade değiştirildi)
    • 1=3−5+3{ görüntü stili 1 = 3-5 + 3} (açılan parantezler)
    • 1=2(3)−5{ görüntü stili 1 = 2 (3) -5} (basitleştirilmiş)
  5. 5 Yerine koyma ve sadeleştirme işlemini tekrarlayın. Öklid algoritmasında ters sırada hareket ederek açıklanan işlemi tekrarlayın. Her seferinde bir önceki adımdaki denklemi yeniden yazacak ve elde ettiğiniz son denkleme yerleştireceksiniz.
    • Baktığımız son adım 5. adımdı. O halde 4. adıma gidin ve bu adımın denkleminde kalanını ayırın:
      • 3=18−(3∗5){ displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}
    • Bu ifadeyi son denklemde "3" yerine koyun:
      • 1=2(18−3∗5)−5{ displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}
      • 1=2(18)−6(5)−5{ görüntü stili 1 = 2 (18) -6 (5) -5}
      • 1=2(18)−7(5){ görüntü stili 1 = 2 (18) -7 (5)}
  6. 6 İkame ve sadeleştirme işlemine devam edin. Öklid algoritmasının ilk adımına ulaşana kadar bu işlem tekrarlanacaktır. Sürecin amacı, çözülecek orijinal denklemin 87 ve 64 katsayıları ile denklemi yazmaktır. Örneğimizde:
    • 1=2(18)−7(5){ görüntü stili 1 = 2 (18) -7 (5)}
    • 1=2(18)−7(23−18){ görüntü stili 1 = 2 (18) -7 (23-18)} (3. adımdaki ifadenin yerine geçti)
      • 1=2(18)−7(23)+7(18){ görüntü stili 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}
      • 1=9(18)−7(23){ görüntü stili 1 = 9 (18) -7 (23)}
    • 1=9(64−2∗23)−7(23){ displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)} (2. adımdaki ifadenin yerine geçti)
      • 1=9(64)−18(23)−7(23){ görüntü stili 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}
      • 1=9(64)−25(23){ görüntü stili 1 = 9 (64) -25 (23)}
    • 1=9(64)−25(87−64){ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)} (1. adımdaki ifadenin yerine geçti)
      • 1=9(64)−25(87)+25(64){ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}
      • 1=34(64)−25(87){ görüntü stili 1 = 34 (64) -25 (87)}
  7. 7 Ortaya çıkan denklemi orijinal katsayılara göre yeniden yazın. Öklid algoritmasının ilk adımına döndüğünüzde, ortaya çıkan denklemin orijinal denklemin iki katsayısını içerdiğini göreceksiniz. Denklemi, terimlerinin sırası orijinal denklemin katsayılarıyla eşleşecek şekilde yeniden yazın.
    • Örneğimizde, orijinal denklem 87x−64y=3{ displaystyle 87x-64y = 3}... Bu nedenle, elde edilen denklemi katsayılar doğru olacak şekilde yeniden yazın."64" katsayısına özellikle dikkat edin. Orijinal denklemde bu katsayı negatif, Öklid algoritmasında ise pozitiftir. Bu nedenle, 34 faktörü negatif yapılmalıdır. Son denklem şu şekilde yazılacaktır:
      • 87(−25)−64(−34)=1{ displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}
  8. 8 Bir çözüm bulmak için uygun çarpanı uygulayın. Örneğimizde, OBEB = 1 olduğuna dikkat edin, bu nedenle son denklem 1'dir. Ancak orijinal denklem (87x-64y) 3'tür. Bu nedenle, çözümü elde etmek için son denklemdeki tüm terimlerin 3 ile çarpılması gerekir:
    • 87(−25∗3)−64(−34∗3)=1∗3{ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}
    • 87(−75)−64(−102)=3{ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}
  9. 9 Denklemin tamsayı çözümünü yazın. Orijinal denklemin katsayıları ile çarpılan sayılar bu denklemin çözümleridir.
    • Örneğimizde çözümü bir çift koordinat olarak yazın: (x,y)=(−75,−102){ görüntü stili (x, y) = (- 75, -102)}.

Bölüm 4/4: Sonsuz Diğer Çözümleri Bulun

  1. 1 Sonsuz sayıda çözüm olduğunu anlayın. Doğrusal bir denklemin bir tamsayı çözümü varsa, sonsuz sayıda tamsayı çözümü olmalıdır. İşte hızlı bir kanıt (cebirsel biçimde):
    • Ax+By=C{ displaystyle Balta + By = C}
    • A(x+B)+B(y−A)=C{ görüntü stili A (x + B) + B (y-A) = C} ("x" e "B" eklerseniz ve "y" den "A" çıkarırsanız, orijinal denklemin değeri değişmez)
  2. 2 Orijinal x ve y değerlerini kaydedin. Sonraki (sonsuz) çözümleri hesaplama şablonu, halihazırda bulduğunuz tek çözümle başlar.
    • Örneğimizde çözüm bir çift koordinattır. (x,y)=(−75,−102){ görüntü stili (x, y) = (- 75, -102)}.
  3. 3 "X" değerine "B" faktörünü ekleyin. Yeni x değerini bulmak için bunu yapın.
    • Örneğimizde, x = -75 ve B = -64:
      • x=−75+(−64)=−139{ displaystyle x = -75 + (- 64) = - 139}
    • Böylece yeni "x" değeri: x = -139.
  4. 4 "y" değerinden "A" faktörünü çıkarın. Orijinal denklemin değerinin değişmemesi için, "x" e bir sayı eklerken, "y" den başka bir sayı çıkarmanız gerekir.
    • Örneğimizde, y = -102 ve A = 87:
      • y=−102−87=−189{ görüntü stili y = -102-87 = -189}
    • Böylece "y" için yeni değer: y = -189.
    • Yeni koordinat çifti şu şekilde yazılacaktır: (x,y)=(−139,−189){ görüntü stili (x, y) = (- 139, -189)}.
  5. 5 Çözümü kontrol edin. Yeni koordinat çiftinin orijinal denklemin bir çözümü olduğunu doğrulamak için değerleri denklemin içine yerleştirin.
    • 87x−64y=3{ displaystyle 87x-64y = 3}
    • 87(−139)−64(−189)=3{ displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}
    • 3=3{ görüntü stili 3 = 3}
    • Eşitlik sağlandığı için karar doğrudur.
  6. 6 Birçok çözüm bulmak için ifadeleri yazın. "X" değerleri, orijinal çözüme ve "B" faktörünün herhangi bir katına eşit olacaktır. Bu, aşağıdaki ifade olarak yazılabilir:
    • x (k) = x + k (B), burada "x (k)", "x" değerlerinin kümesidir ve "x", bulduğunuz "x" in orijinal (ilk) değeridir.
      • Örneğimizde:
      • x(k)=−75−64k{ görüntü stili x (k) = - 75-64k}
    • y (k) = y-k (A), burada y (k), y değerleri kümesidir ve y, bulduğunuz orijinal (ilk) y değeridir.
      • Örneğimizde:
      • y(k)=−102−87k{ görüntü stili y (k) = - 102-87k}

Paylaş

Çözünürlüğü belirleme
Çözünürlüğü belirleme
TV'nize bir Wii bağlama
TV'nize bir Wii bağlama
Kanayan yaraları durdurmak
Kanayan yaraları durdurmak
Saçınızı şekillendirmek
Saçınızı şekillendirmek