Bir sayıyı asal faktörlerin çarpımına nasıl çarpanlarına ayırabiliriz?

İçerik

adımlar
Bölüm 1/2: Asal Faktörleri Bulma
Bölüm 2/2: Asal Faktörleri Kullanma
Görev örnekleri
İpuçları
Uyarılar

Herhangi bir doğal sayı, asal faktörlerin ürününe ayrıştırılabilir. 5733 gibi büyük sayılarla uğraşmaktan hoşlanmıyorsanız, onları nasıl çarpanlarına ayıracağınızı öğrenin (bu durumda, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Bilgi güvenliği sorunlarıyla ilgilenen kriptografide de benzer bir görevle sıklıkla karşılaşılır. Henüz kendi güvenli e-posta sisteminizi oluşturmaya hazır değilseniz, önce sayıları nasıl çarpanlarına ayıracağınızı öğrenin.

adımlar

Bölüm 1/2: Asal Faktörleri Bulma

1 Faktoring'in Ne Olduğunu Öğrenin. Bir sayının faktörlerin ürününe ayrıştırılması, onu daha küçük parçalara "bölme" işlemidir.Çarpıldığında, bu kısımlar veya faktörler orijinal sayıyı verir.
- Örneğin, 18 sayısı şu ürünlere ayrıştırılabilir: 1 x 18, 2 x 9 veya 3 x 6.
2 Asal sayıların ne olduğunu hatırlayın. Bir asal sayı, kalansız yalnızca iki sayıya bölünebilir: tek başına ve 1'e. Örneğin, 5 sayısı 5 ve 1'in çarpımı olarak gösterilebilir. Bu sayı başka çarpanlara ayrılamaz. Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmanın amacı, onu asal sayıların çarpımı olarak göstermektir. Bu, özellikle kesirlerle uğraşırken kullanışlıdır, çünkü onları karşılaştırmanıza ve basitleştirmenize izin verir.
3 Orijinal numarayla başlayın. 3'ten büyük bir bileşik sayı seçin. Sadece kendisine ve bire bölünebildiği için asal sayı almanın bir anlamı yoktur.
- Örnek: 24 sayısını asal sayıların çarpımına ayıralım.
4 Bu sayıyı iki faktörün çarpımına bölelim. Çarpımı orijinal sayıya eşit olan iki küçük sayı bulun. Herhangi bir faktör kullanılabilir, ancak asal sayıları almak daha kolaydır. İyi bir yol, orijinal sayıyı önce 2'ye, sonra 3'e, sonra 5'e bölmeyi denemek ve bu asal sayılardan hangisini kalansız böldüğünü kontrol etmektir.
- Örnek: 24'ün çarpanlarını bilmiyorsanız, küçük asal sayılara bölmeyi deneyin. Böylece verilen sayının 2: 24 = ile bölünebildiğini göreceksiniz. 2x12... Bu iyi bir başlangıç.
- 2 bir asal sayı olduğundan, çift sayıları çarpanlarına ayırırken kullanmak iyidir.
5 Çarpan ağacını oluşturmaya başlayın. Bu basit prosedür, bir sayıyı çarpanlara ayırmanıza yardımcı olacaktır. Başlamak için, orijinal sayıdan aşağıya iki "dal" çizin. Her dalın sonunda bulunan faktörleri yazınız.
- Örnek:
- 24
- /
- 2 12
6 Sonraki sayı satırını çarpanlara ayırın. İki yeni sayıya bir göz atın (çarpan ağacının ikinci satırı). İkisi de asal sayı mı? Bunlardan biri basit değilse, iki faktörle de çarpanlara ayırın. İki dal daha yapın ve ağacın üçüncü satırına iki yeni faktör yazın.
- Örnek: 12 asal bir sayı değildir, bu nedenle çarpanlara ayrılmalıdır. 12 = 2 x 6 ayrıştırmasını kullanın ve bunu ağacın üçüncü satırına yazın:
- 24
- /
- 2 12
- /
- 2x6
7 Ağaçtan aşağı devam edin. Yeni çarpanlardan birinin asal sayı olduğu ortaya çıkarsa, ondan bir "dal" çizin ve sonuna aynı sayıyı yazın. Asal sayılar daha küçük faktörlere genişletilemez, bu yüzden onları bir seviye aşağı taşıyın.
- Örnek: 2 asaldır. Sadece 2'yi ikinci satırdan üçüncü satıra taşıyın:
- 24
- /
- 2 12
- / /
- 2 2 6
8 Sadece asal sayılar kalana kadar sayıları çarpanlarına ayırmaya devam edin. Ağacın her yeni satırını kontrol edin. Yeni çarpanlardan en az biri asal sayı değilse, çarpanlarına ayırıp yeni bir satır yazın. Sonunda, sadece asal sayılarla kalacaksınız.
- Örnek: 6 asal bir sayı değildir, bu nedenle çarpanlara ayrılması gerekir. Aynı zamanda 2 bir asal sayıdır ve iki ikiyi bir sonraki düzeye taşıyoruz:
- 24
- /
- 2 12
- / /
- 2 2 6
- / / /
- 2 2 2 3
9 Son satırı asal faktörlerin bir ürünü olarak yazın. Sonunda, sadece asal sayılarla kalacaksınız. Bu olduğunda, asal çarpanlara ayırma tamamlanır. Son satır, çarpımı orijinal sayıyı veren bir dizi asal sayıdır.
- Cevabınızı kontrol edin: son satırdaki sayıları çarpın. Sonuç orijinal sayı olmalıdır.
- Örnek: Faktör ağacının son satırı 2 ve 3 sayılarını içerir. Bu sayıların ikisi de asaldır, dolayısıyla ayrıştırma tamamlanmıştır. Böylece, 24'ün asal çarpanlarına ayrılması aşağıdaki forma sahiptir: 24 = 2x2x2x3.
- Faktörlerin sırası önemli değildir. Ayrıştırma 2 x 3 x 2 x 2 olarak da yazılabilir.
10 İsterseniz üstel gösterimi kullanarak cevabınızı basitleştirin. Sayıların üslerine aşina iseniz, cevabı daha basit bir biçimde yazabilirsiniz.Tabanın altta yazıldığını ve üst simge numarasının bu tabanın kendisi ile kaç kez çarpılması gerektiğini gösterdiğini unutmayın.
- Örnek: bulunan 2 x 2 x 2 x 3 ayrışımında 2 sayısı kaç kez geçer? Üç kez, yani 2 x 2 x 2 ifadesi 2 olarak yazılabilir. Basitleştirilmiş gösterimde, şunu elde ederiz: 2x3.

Bölüm 2/2: Asal Faktörleri Kullanma

1 İki sayının en büyük ortak bölenini bulun. İki sayının en büyük ortak böleni (GCD), her iki sayının da kalansız bölünebildiği en büyük sayıdır. Aşağıdaki örnek, 30 ve 36'nın en büyük ortak bölenini bulmak için asal çarpanlara ayırmanın nasıl kullanılacağını gösterir.
- Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım. 30 için çarpanlara ayırma 2 x 3 x 5'tir. 36 sayısı asal çarpanlara şu şekilde ayrıştırılır: 2 x 2 x 3 x 3.
- Her iki açılımda da oluşan sayıyı bulalım. Bu sayıyı her iki listede de çizelim ve yeni bir satıra yazalım. Örneğin, 2 iki açılımda oluşur, bu yüzden yazarız 2 yeni bir satırda. Ondan sonra 30 = 2 x 3 x 5 ve 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
- Genişletmelerde ortak çarpan kalmayana kadar bu adımı tekrarlayın. Her iki liste de 3 sayısını içerir, böylece yeni bir satıra yazabilirsiniz 2 ve 3... Ardından açılımları tekrar karşılaştırın: 30 = ~~2x3~~ x 5 ve 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Görüldüğü gibi içlerinde ortak çarpan kalmamıştır.
- En büyük ortak çarpanı bulmak için tüm ortak çarpanların çarpımını bulunuz. Örneğimizde bunlar 2 ve 3'tür, yani gcd 2 x 3 = 6... 30 ve 36 sayılarını tam bölen en büyük sayıdır.
2 GCD'nin yardımıyla kesirleri basitleştirebilirsiniz. Bir kesrin iptal edilebileceğinden şüpheleniyorsanız, en büyük ortak çarpanı kullanın. Yukarıdaki prosedürü kullanarak pay ve paydanın GCD'sini bulun. Sonra kesrin payını ve paydasını bu sayıya bölün. Sonuç olarak, aynı kesri daha basit bir biçimde elde edersiniz.
- Örneğin, kesri sadeleştirelim /₃₆... Yukarıda belirttiğimiz gibi 30 ve 36 için OBEB 6'dır, yani pay ve paydayı 6'ya böleriz:
- 30 ÷ 6 = 5
- 36 ÷ 6 = 6
- /₃₆ = /₆
3 İki sayının en küçük ortak katını bulun. İki sayının en küçük ortak katı (LCM), her iki sayıya da tam bölünebilen en küçük sayıdır. Örneğin, 2 ve 3'ün LCM'si 6'dır çünkü 2 ve 3'e bölünebilen en küçük sayıdır. Aşağıda, LCM'yi asal çarpanlara ayırmayı kullanarak bulma örneği verilmiştir:
- İki asal çarpanlara ayırma ile başlayalım. Örneğin 126 için çarpanlara ayırma 2 x 3 x 3 x 7 şeklinde yazılabilir. 84 sayısı 2 x 2 x 3 x 7 asal çarpanlarına ayrılabilir.
- Her bir faktörün açılımlarda kaç kez oluştuğunu karşılaştıralım. Çarpanın maksimum sayıda gerçekleştiği listeyi seçin ve bu yeri daire içine alın. Örneğin, 2 sayısı 126 için genişletmede bir kez ve 84 için listede iki kez görünür, bu nedenle daire içine almalısınız. 2x2 faktörlerin ikinci listesinde.
- Her çarpan için bu adımı tekrarlayın. Örneğin, ilk genişlemede 3 daha yaygındır, bu yüzden onu daire içine almalısınız. 3x3... 7 sayısı her iki listede de birer kez göründüğü için daire içine alıyoruz. 7 (Verilen faktör her iki listede de aynı sayıda ortaya çıkıyorsa, hangi listede olduğu önemli değildir).
- LCM'yi bulmak için daire içine alınmış tüm sayıları çarpın. Örneğimizde, 126 ve 84'ün en küçük ortak katı 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... 126 ve 84 ile kalansız bölünebilen en küçük sayıdır.
4 Kesirler eklemek için LCM'yi kullanın. İki kesir eklerken, bunları ortak bir paydaya getirmek gerekir. Bunu yapmak için iki paydanın LCM'sini bulun. Ardından, her kesrin pay ve paydasını, kesirlerin paydaları LCM'ye eşit olacak şekilde bir sayı ile çarpın. Bundan sonra, kesirleri ekleyebilirsiniz.
- Örneğin, miktarı bulmanız gerekir /₆ + /₂₁.
- Yukarıdaki yöntemi kullanarak 6 ve 21 için LCM'yi bulabilirsiniz. 42'dir.
- kesri dönüştürüyoruz /₆ böylece paydası 42 olur. Bunu yapmak için 42'yi 6'ya bölmeniz gerekir: 42 ÷ 6 = 7 Şimdi kesrin payını ve paydasını 7 ile çarpın: /₆ x /₇ = /₄₂.
- İkinci kesri payda 42'ye getirmek için 42'yi 21'e bölün: 42 ÷ 21 = 2. Kesrin payını ve paydasını 2 ile çarpın.₂₁ x /₂ = /₄₂.
- Kesirler aynı paydaya indirgendikten sonra kolayca eklenebilirler: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Görev örnekleri

Aşağıdaki sorunları kendiniz çözmeye çalışın.Doğru cevabı aldığınızı düşünüyorsanız, problem ifadesinde iki nokta üst üste işaretinden sonraki yeri fare ile işaretleyin. Son görevler en zor olanlardır.
16: 2 x 2 x 2 x 2 için asal çarpanlara ayırmayı bulun
Cevabınızı üstel biçimde yazın: 2
45'in asal çarpanlarını bulun: 3 x 3 x 5
Cevabınızı üstel biçimde yazın: 3 x 5
34: 2 x 17 için asal çarpanlara ayırmayı bulun
154'ün asal çarpanlarını bulun: 2 x 7 x 11
8 ve 40 için asal çarpanlara ayırmayı bulun ve en büyük ortak çarpanlarını belirleyin: 8'in asal çarpanlarına ayırma 2 x 2 x 2 x 2'dir; 40'ın asal çarpanlara ayrılması 2 x 2 x 2 x 5'tir; İki sayının GCD'si 2 x 2 x 2 = 6.
18 ve 52'nin asal çarpanlarına ayırmasını ve en küçük ortak katlarını bulun: 18'in asal çarpanlarına ayırması 2 x 3 x 3'tür; 52'nin asal çarpanlarına ayırması 2 x 2 x 13'tür; İki sayının LCM'si 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468'dir.

İpuçları

Her sayının kendine özgü bir çarpanlara ayırma özelliği vardır. Bu genişlemeyi nasıl bulduğunuz önemli değil, aynı cevabı almalısınız. Buna aritmetiğin temel teoremi denir.
Asal sayıları her seferinde faktör ağacının yeni bir satırına yeniden yazmak yerine, onları yerinde bırakıp daire içine alabilirsiniz. Genişletmenin sonunda, daire içine alınmış tüm asal faktörleri içerecektir.
Aldığınız cevabı her zaman kontrol edin. Bir hata yapabilir ve bunu fark etmeyebilirsiniz.
Zor görevlere hazır olun. Bir asal sayının asal çarpanlarını bulmanız istenirse herhangi bir hesaplama yapmanıza gerek yoktur. Örneğin, 17 sayısı için asal çarpanlara ayırma 17'dir; bu sayı diğer asal çarpanlara ayrılamaz.
En büyük ortak faktör ve en küçük ortak kat, üç veya daha fazla sayı için bulunabilir.