İçerik

• ön bilgi
• adımlar
• Bölüm 1/3: Temel Bilgiler
• Bölüm 2/3: Laplace dönüşümünün özellikleri
• Bölüm 3/3: Seri Genişletme ile Laplace Dönüşümünü Bulma

Laplace dönüşümü, sabit katsayılı diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılan bir integral dönüşümdür. Bu dönüşüm fizik ve mühendislikte yaygın olarak kullanılmaktadır.

Uygun tabloları kullanabilseniz de, gerektiğinde kendiniz yapabilmeniz için Laplace dönüşümünü anlamanıza yardımcı olur.

ön bilgi

• Verilen bir fonksiyon ${ görüntü stili f (t)}$için tanımlanmış ${ displaystyle t geq 0.}$ Sonra Laplace dönüşümü işlev ${ görüntü stili f (t)}$ her değerin bir sonraki işlevidir ${ görüntü stili s}$, integralin yakınsadığı:
  • ${ displaystyle F (s) = { matematik {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} matematik {d} T}$
• Laplace dönüşümü, t-bölgesinden (zaman ölçeği) s-bölgesine (dönüşüm bölgesi) bir fonksiyon alır. ${ görüntü stili F(ler)}$ karmaşık bir değişkenin karmaşık bir işlevidir. Fonksiyonu, çözümün daha kolay bulunabileceği bir alana taşımanıza olanak tanır.
• Açıktır ki, Laplace dönüşümü lineer bir operatördür, yani eğer bir terimler toplamı ile uğraşıyorsak, her bir integral ayrı ayrı hesaplanabilir.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} matematik {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} matematik {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} matematik {d} t}$
• Laplace dönüşümünün yalnızca integral yakınsadığında işe yaradığını unutmayın. eğer fonksiyon ${ görüntü stili f (t)}$ süreksizlikler varsa, belirsizlikten kaçınmak için dikkatli olmak ve entegrasyon sınırlarını doğru belirlemek gerekir.

adımlar

Bölüm 1/3: Temel Bilgiler

1. 1 İşlevi Laplace dönüşüm formülünde değiştirin. Teorik olarak, bir fonksiyonun Laplace dönüşümünü hesaplamak çok kolaydır. Örnek olarak, işlevi düşünün ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, nerede ${ görüntü stili a}$ ile karmaşık bir sabittir ${ displaystyle operatöradı {Re} (s) operatöradı {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { matematik {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} matrm {d} t}$
2. 2 Mevcut yöntemleri kullanarak integrali tahmin edin. Örneğimizde tahmin çok basittir ve basit hesaplamalarla yapabilirsiniz. Daha karmaşık durumlarda, örneğin parçalara göre entegrasyon veya integral işareti altında farklılaşma gibi daha karmaşık yöntemlere ihtiyaç duyulabilir. kısıtlama koşulu ${ displaystyle operatöradı {Re} (s) operatöradı {Re} (a)}$ integralin yakınsadığı, yani değerinin 0'a eğilimli olduğu anlamına gelir. ${ displaystyle t ila infty.}$
   • ${ displaystyle { başlangıç ​​{hizalanmış} { matematik {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} matrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} son {hizalı}}}$
   • Bunun bize sinüs ve kosinüs ile iki tür Laplace dönüşümü verdiğini unutmayın, çünkü Euler formülüne göre ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Bu durumda, paydada aldığımız ${ displaystyle s-ia,}$ ve sadece gerçek ve hayali kısımları belirlemek için kalır. Sonucu doğrudan da değerlendirebilirsiniz, ancak bu biraz daha uzun sürecektir.
     • ${ displaystyle { matematik {L}} { çünkü } = operatör adı {Re} sol ({ frac {1} {s-ia}} sağ) = { frac {s} {s ^ {2} + bir ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatöradı {Im} sol ({ frac {1} {s-ia}} sağ) = { frac {a} {s ^ {2} + bir ^ {2}}}}$
3. 3 Bir güç fonksiyonunun Laplace dönüşümünü düşünün. İlk olarak, doğrusallık özelliği için dönüşümü bulmanızı sağladığından, güç fonksiyonunun dönüşümünü tanımlamanız gerekir. tümünden polinomlar. Formun bir işlevi ${ görüntü stili t ^ {n},}$ nerede ${ görüntü stili n}$ - herhangi bir pozitif tam sayı. Özyinelemeli bir kural tanımlamak için parça parça entegre edilebilir.
   • ${ displaystyle { matematik {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} matrm {d} t = { frac {n} {s}} { matematiksel {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Bu sonuç dolaylı olarak ifade edilir, ancak birkaç değeri değiştirirseniz ${ görüntü stili n,}$ aşağıdaki sonucu elde etmenizi sağlayan belirli bir kalıp oluşturabilirsiniz (kendiniz yapmayı deneyin):
     • ${ displaystyle { matematik {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Gama işlevini kullanarak kesirli güçlerin Laplace dönüşümünü de tanımlayabilirsiniz. Örneğin, bu şekilde aşağıdaki gibi bir fonksiyonun dönüşümünü bulabilirsiniz. ${ görüntü stili f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { matematik {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gama (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { matematik {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gama (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Kesirli kuvvetlere sahip fonksiyonların kesimleri olması gerekmesine rağmen (unutmayın, herhangi bir karmaşık sayı ${ görüntü stili z}$ ve ${ görüntü stili alfa}$ olarak yazılabilir ${ displaystyle z ^ { alfa}}$, Çünkü ${ displaystyle e ^ { alpha operatöradı {Günlük} z}}$), her zaman kesimler sol yarı düzlemde olacak şekilde tanımlanabilirler ve böylece analitik problemlerden kaçınırlar.

Bölüm 2/3: Laplace dönüşümünün özellikleri

1. 1 ile çarpılan fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulalım. eaT{ displaystyle e ^ {at}}. Bir önceki bölümde elde edilen sonuçlar, Laplace dönüşümünün bazı ilginç özelliklerini bulmamıza izin verdi. Kosinüs, sinüs ve üstel fonksiyon gibi fonksiyonların Laplace dönüşümü, güç fonksiyonu dönüşümünden daha basit görünmektedir. çarpma ${ displaystyle e ^ {at}}$ t-bölgesinde karşılık gelir vardiya s bölgesinde:
   • ${ displaystyle { matematik {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} matrm {d} t = F(sa)}$
   • Bu özellik, aşağıdaki gibi fonksiyonların dönüşümünü hemen bulmanızı sağlar. ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} günah 2t}$, integrali hesaplamak zorunda kalmadan:
     • ${ displaystyle { matematik {L}} {e ^ {3t} günah 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 ile çarpılan fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulalım. Tn{ görüntü stili t ^ {n}}. İlk olarak, çarpmayı düşünün ${ görüntü stili t}$... Tanım olarak, bir integral altında bir fonksiyon ayırt edilebilir ve şaşırtıcı derecede basit bir sonuç elde edilebilir:
   • ${ displaystyle { başlangıç ​​{hizalanmış} { matematik {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} matematik { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { kısmi} { kısmi s}} e ^ {- st} matrm {d} t & = - { frac { matematik {d}} { matematik {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} matematik {d} t & = - { frac { matematik {d} F} { matematik {d} s}} bitiş {hizalanmış}}}$
   • Bu işlemi tekrarlayarak, nihai sonucu elde ederiz:
     • ${ displaystyle { matematik {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { matematik {d} ^ {n} F} { matematik {d} s ^ {n}}}}$
   • Entegrasyon ve farklılaşma operatörlerinin yeniden düzenlenmesi bazı ek gerekçeler gerektirse de, bunu burada sunmayacağız, ancak bu işlemin yalnızca nihai sonuç mantıklıysa doğru olduğunu belirtelim. Değişkenlerin olduğu gerçeğini de göz önünde bulundurabilirsiniz. ${ görüntü stili s}$ ve ${ görüntü stili t}$ birbirinize bağımlı olmayın.
   • Bu kuralı kullanarak, aşağıdaki gibi fonksiyonların dönüşümünü bulmak kolaydır. ${ görüntü stili t ^ {2} çünkü 2t}$, parçalara göre yeniden entegrasyon olmadan:
     • ${ displaystyle { matematik {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { matematik {d} ^ {2}} { matematik {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulun F(aT){ displaystyle f (en)}. Bu, bir dönüşüm tanımını kullanarak değişkeni u ile değiştirerek kolayca yapılabilir:
   • ${ displaystyle { başlangıç ​​{hizalanmış} { matematik {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} matematik { d} t, u = en & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} matrm {d } u & = { frac {1} {a}} F sol ({ frac {s} {a}} sağ) bitiş {hizalı}}}$
   • Yukarıda, fonksiyonların Laplace dönüşümünü bulduk. ${ displaystyle günah}$ ve ${ displaystyle çünkü }$ doğrudan üstel fonksiyondan. Bu özelliği kullanarak gerçek ve hayali kısımları bulursanız aynı sonucu elde edebilirsiniz. ${ displaystyle { matematik {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Türevin Laplace dönüşümünü bulun F′(T){ displaystyle f ^ { asal} (t)}. Önceki örneklerden farklı olarak, bu durumda zorunda parça parça entegre edin:
   • ${ displaystyle { başlangıç ​​{hizalanmış} { matematik {L}} {f ^ { asal} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { asal} (t ) e ^ {- st} matrm {d} t, u = e ^ {- st}, matrm {d} v = f ^ { asal} (t) matrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Büyük _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} matematik {d } t & = sF (s) -f (0) bitiş {hizalı}}}$
   • İkinci türev birçok fiziksel problemde ortaya çıktığı için, onun için de Laplace dönüşümünü buluyoruz:
     • ${ displaystyle { matematik {L}} {f ^ { asal asal} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { asal} (0) }$
   • Genel durumda, n'inci dereceden türevin Laplace dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanır (bu, Laplace dönüşümü kullanılarak diferansiyel denklemlerin çözülmesine izin verir):
     • ${ displaystyle { matematik {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - toplam _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Bölüm 3/3: Seri Genişletme ile Laplace Dönüşümünü Bulma

1. 1 Periyodik bir fonksiyon için Laplace dönüşümünü bulalım. Periyodik fonksiyon koşulu sağlar ${ görüntü stili f (t) = f (t + nT),}$ nerede ${ görüntü stili T}$ fonksiyonun periyodudur ve ${ görüntü stili n}$ pozitif bir tamsayıdır. Periyodik fonksiyonlar, sinyal işleme ve elektrik mühendisliği dahil olmak üzere birçok uygulamada yaygın olarak kullanılmaktadır. Basit dönüşümleri kullanarak aşağıdaki sonucu elde ederiz:
   • ${ displaystyle { başlangıç ​​{hizalanmış} { matematik {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} matematik { d} t & = toplam _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} matematik {d} t & = toplam _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} matematik {d} t & = toplam _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} matematik {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} matematik {d} t son { hizalı}}}$
   • Görüldüğü gibi periyodik bir fonksiyon söz konusu olduğunda, bir periyot için Laplace dönüşümünü gerçekleştirmek yeterlidir.
2. 2 Doğal logaritma için Laplace dönüşümünü gerçekleştirin. Bu durumda, integral temel fonksiyonlar şeklinde ifade edilemez. Gama işlevini ve onun seri genişletmesini kullanmak, doğal logaritmayı ve derecelerini tahmin etmenize olanak tanır. Euler-Mascheroni sabitinin varlığı ${ görüntü stili gama}$ Bu integrali tahmin etmek için bir seri açılım kullanmanın gerekli olduğunu gösterir.
   • ${ görüntü stili { matematik {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Normalleştirilmemiş sinüs fonksiyonunun Laplace dönüşümünü düşünün. İşlev ${ displaystyle operatör adı {sinc} (t) = { frac { günah t} {t}}}$ sinyal işleme için yaygın olarak kullanılır, diferansiyel denklemlerde birinci tür ve sıfır mertebeden küresel Bessel fonksiyonuna eşdeğerdir ${ görüntü stili j_ {0} (x).}$ Bu fonksiyonun Laplace dönüşümü de standart yöntemlerle hesaplanamaz. Bu durumda, serinin kuvvet fonksiyonları olan bireysel üyelerinin dönüşümü gerçekleştirilir, bu nedenle dönüşümleri zorunlu olarak belirli bir aralıkta yakınsar.
   • İlk olarak, bir Taylor serisinde fonksiyonun açılımını yazıyoruz:
     • ${ displaystyle { frac { günah t} {t}} = toplam _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n) +1!}}}$
   • Şimdi bir güç fonksiyonunun zaten bilinen Laplace dönüşümünü kullanıyoruz. Faktöriyeller iptal edilir ve sonuç olarak arktanjant için Taylor açılımını elde ederiz, yani sinüs için Taylor serisine benzeyen, ancak faktöriyelleri olmayan alternatif bir seri:
     • ${ displaystyle { başlangıç ​​{hizalanmış} { matematik {L}} sol {{ frac { günah t} {t}} sağ } & = toplam _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = toplam _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {hizalanmış}}}$