matrisler nasıl bölünür

İçerik

Kısa özet
adımlar
Bölüm 1/3: Matrislerin Bölünebilirliğini Test Etme
Bölüm 2/3: Ters Matrisi Bulma
Bölüm 3/3: Matris çarpımı
İpuçları
Uyarılar
Ek makaleler

İki matrisi nasıl çarpacağınızı biliyorsanız, matrisleri "bölmeye" başlayabilirsiniz. "Bölme" kelimesi tırnak içine alınmıştır, çünkü matrisler gerçekte bölünemezler. Bölme işlemi, bir matrisi ikinci matrisin tersi olan bir matrisle çarpma işlemiyle değiştirilir. Basit olması için, tamsayılarla bir örnek düşünün: 10 ÷ 5. 5: 5 veya /'nin tersini bulun.₅ve ardından bölmeyi çarpma ile değiştirin: 10 x 5; bölme ve çarpma işleminin sonucu aynı olacaktır. Bu nedenle, bölmenin ters matris ile çarpma ile değiştirilebileceğine inanılmaktadır. Tipik olarak, bu tür hesaplamalar lineer denklem sistemlerini çözmek için kullanılır.

Kısa özet

Matrisleri bölemezsiniz. Bölmek yerine, bir matris ikinci matrisin tersi ile çarpılır. [A] ÷ [B] matrisinin "bölünmesi" şu şekilde yazılır: [A] * [B] veya [B] * [A].
[B] matrisi kare değilse veya determinantı 0 ise, "kesin çözüm yok" yazın. Aksi takdirde, [B] matrisinin determinantını bulun ve bir sonraki adıma geçin.
Tersini bulun: [B].
[A] * [B] veya [B] * [A]'yı bulmak için matrisleri çarpın. Matrislerin çarpılma sırasının nihai sonucu etkilediğini (yani sonuçların değişebileceğini) unutmayın.

adımlar

Bölüm 1/3: Matrislerin Bölünebilirliğini Test Etme

1 Matrislerin "bölümünü" anlayın. Aslında, matrisler bölünemez. “Bir matrisi diğerine bölme” diye bir matematiksel işlem yoktur. Bölme, bir matrisin ikinci matrisin tersi ile çarpılmasıyla değiştirilir. Diğer bir deyişle, [A] ÷ [B] gösterimi doğru değildir, bu nedenle şu gösterimle değiştirilir: [A] * [B]. Her iki giriş de skaler değerler durumunda eşdeğer olduğundan, teorik olarak matrislerin "bölünmesi" hakkında konuşabiliriz, ancak yine de doğru terminolojiyi kullanmak daha iyidir.
- [A] * [B] ve [B] * [A]'nın farklı işlemler olduğuna dikkat edin. Tüm olası çözümleri bulmak için her iki işlemin de gerçekleştirilmesi gerekebilir.
- Örneğin, yerine ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 bitiş {pmatrix}} div { başlangıç {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 bitiş {pmatrix}}}$ yazmak ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 13 ve 26 39 ve 13 bitiş {pmatrix}} * { başlangıç {pmatrix} 7 ve 4 2 ve 3 bitiş {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  hesaplamak zorunda kalabilirsiniz ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 7 ve 4 2 ve 3 bitiş {pmatrix}} ^ {- 1} * { başlangıç {pmatrix} 13 ve 26 39 ve 13 bitiş {pmatrix}} }$ farklı bir sonuç elde etmek için.
2 Diğer matrisi "böldüğünüz" matrisin kare olduğundan emin olun. Bir matrisi ters çevirmek (bir matrisin tersini bulmak) için, kare olmalıdır, yani aynı sayıda satır ve sütunla. Tersine çevrilmiş matris ters değilse kesin bir çözüm yoktur.
- Yine, matrisler burada "bölünebilir" değildir. [A] * [B] işleminde, açıklanan koşul [B] matrisine atıfta bulunur. Örneğimizde, bu koşul matrisi ifade eder. ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 7 ve 4 2 ve 3 bitiş {pmatrix}}}$
- Tersine çevrilebilen bir matris, dejenere olmayan veya düzenli olarak adlandırılır. Tersine çevrilemeyen bir matrise dejenere veya tekil denir.
3 İki matrisin çarpılıp çarpılmadığını kontrol edin. İki matrisi çarpmak için birinci matristeki sütun sayısı ikinci matristeki satır sayısına eşit olmalıdır. [A] * [B] veya [B] * [A] girişinde bu koşul karşılanmazsa, çözüm yoktur.
- Örneğin, [A] matrisinin boyutu 4 x 3 ve [B] matrisinin boyutu 2 x 2 ise çözüm yoktur. [A] * [B]'yi 4 ≠ 2 olduğu için çarpamazsınız ve [B] * [A]'yı 2 ≠ 3 olduğu için çarpamazsınız.
- Ters matrisin [B] her zaman orijinal matris [B] ile aynı sayıda satır ve sütuna sahip olduğuna dikkat edin. İki matrisin çarpılabileceğini kontrol etmek için ters matrisi bulmak gerekli değildir.
- Örneğimizde, her iki matrisin boyutu 2 x 2 olduğundan herhangi bir sırayla çarpılabilirler.
4 2 × 2 matrisinin determinantını bulun. Unutmayın: Bir matrisi ancak determinantı sıfır değilse ters çevirebilirsiniz (aksi takdirde matrisi ters çeviremezsiniz). 2 x 2 matrisin determinantını şu şekilde bulabilirsiniz:
- 2 x 2 Matris: bir matrisin determinantı ${ displaystyle { start {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ ad - bc'ye eşittir. Yani, ana köşegenin elemanlarının ürününden (sol üst ve sağ alt köşelerden geçer), diğer köşegenin elemanlarının ürünlerini çıkarın (sağ üst ve sol alt köşelerden geçer).
- Örneğin, matrisin determinantı ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 7 ve 4 2 ve 3 bitiş {pmatrix}}}$ (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13'e eşittir. Determinant sıfırdan farklıdır, dolayısıyla bu matris ters çevrilebilir.
5 Daha büyük matrisin determinantını bulun. Matrisin boyutu 3 x 3 veya daha fazla ise, determinantın hesaplanması biraz daha zordur.
- 3 x 3 matris: herhangi bir öğeyi seçin ve içinde bulunduğu satır ve sütunun üzerini çizin.Ortaya çıkan 2 × 2 matrisin determinantını bulun ve ardından bunu seçilen öğeyle çarpın; determinantın işaretini özel bir tabloda belirtin. Seçtiğiniz öğeyle aynı satır veya sütunda bulunan diğer iki öğe için bu işlemi tekrarlayın. Sonra alınan (üç) determinantın toplamını bulun. 3 x 3 matrisin determinantının nasıl bulunacağı hakkında daha fazla bilgi için bu makaleyi okuyun.
- Büyük matrisler: bu tür matrislerin determinantı en iyi bir grafik hesap makinesi veya yazılımı ile aranır. Yöntem, 3x3 matrisin determinantını bulma yöntemine benzer, ancak onu manuel olarak uygulamak oldukça sıkıcıdır. Örneğin, 4 x 4 matrisin determinantını bulmak için dört 3 x 3 matrisin determinantını bulmanız gerekir.
6 Hesaplamalara devam edin. Matris kare değilse veya determinantı sıfıra eşitse "kesin çözüm yok" yazın, yani hesaplama işlemi tamamlandı. Matris kare ise ve sıfırdan farklı bir determinantı varsa bir sonraki bölüme geçin.

Bölüm 2/3: Ters Matrisi Bulma

1 2 x 2 matrisin ana köşegeninin elemanlarını değiştirin. 2 × 2 matris verildiğinde, hızlı ters yöntemini kullanın. İlk olarak, sol üst öğeyi ve sağ alt öğeyi değiştirin. Örneğin:
- ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 7 ve 4 2 ve 3 bitiş {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 3 ve 4 2 ve 7 bitiş {pmatrix}}}$
- Not: çoğu insan 3 x 3 (veya daha büyük) bir matrisi ters çevirmek için hesap makinesi kullanır. Bunu manuel olarak yapmanız gerekiyorsa, bu bölümün sonuna gidin.
2 Kalan iki öğeyi değiştirmeyin, işaretlerini değiştirin. Yani, sağ üst öğeyi ve sol alt öğeyi -1 ile çarpın:
- ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 3 ve 4 2 ve 7 bitiş {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 3 ve -4 - 2 ve 7 bitiş {pmatrix}}}$
3 Determinantın tersini bulun. Bu matrisin determinantı önceki bölümde bulundu, bu yüzden tekrar hesaplamayacağız. Determinantın tersi şu şekilde yazılır: 1 / (determinant):
- Örneğimizde determinant 13'tür. Ters değer: ${ görüntü stili { frac {1} {13}}}$ .
4 Elde edilen matrisi determinantın tersi ile çarpın. Yeni matrisin her elemanını determinantın tersi ile çarpın. Son matris, orijinal 2 x 2 matrisinin tersi olacaktır:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { başlangıç {pmatrix} 3 ve -4 - 2 ve 7 bitiş {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { {pmatrix} { frac {3} {13}} ve { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ve { frac {7 } {13}} bitiş {pmatrix}}}$
5 Hesaplamaların doğru olup olmadığını kontrol edin. Bunu yapmak için, orijinal matrisi tersiyle çarpın. Hesaplamalar doğruysa, orijinal matrisin tersi ile çarpımı birim matrisi verecektir: (1001){ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 1 ve 0 0 ve 1 bitiş {pmatrix}}}... Test başarılı olduysa, sonraki bölüme geçin.
- Örneğimizde: ${ displaystyle { {pmatrix} { frac {3} {13}} ve { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ve { frac {7 } {13}} bitiş {pmatrix}} * { başlangıç {pmatrix} 7 ve 4 2 ve 3 bitiş {pmatrix}} = { başlangıç {pmatrix} 1 ve 0 0 ve 1 bitiş {pmatriks}}}$ .
- Matrislerin nasıl çarpılacağı hakkında daha fazla bilgi için bu makaleyi okuyun.
- Not: matris çarpma işlemi değişmeli değildir, yani matrislerin sırası önemlidir. Ancak orijinal matris, tersi ile çarpıldığında, herhangi bir sıra, birim matrise yol açar.
6 3 x 3 matrisin tersini bulun (veya daha büyük). Bu sürece zaten aşina iseniz, bir grafik hesap makinesi veya özel bir yazılım kullanmak daha iyidir. Ters matrisi manuel olarak bulmanız gerekiyorsa, işlem aşağıda kısaca açıklanmıştır:
- Orijinal matrisin sağ tarafındaki birim matrisi I'e katılın. Örneğin, [B] → [B | BEN]. Birim matrisi için, ana köşegenin tüm elemanları 1'e ve diğer tüm elemanlar 0'a eşittir.
- Matrisi, sol tarafı kademeli olacak şekilde sadeleştirin; sol taraf birim matris olacak şekilde sadeleştirmeye devam edin.
- Sadeleştirmeden sonra matris aşağıdaki formu alacaktır: [I | B]. Yani, sağ tarafı orijinal matrisin tersidir.

Bölüm 3/3: Matris çarpımı

1 İki olası ifadeyi yazın. İki skaleri çarpma işlemi değişmeli, yani 2 x 6 = 6 x 2.Matris çarpımı durumunda durum böyle değildir, bu nedenle iki ifadeyi çözmeniz gerekebilir:
- x = [A] * [B] denklemin çözümüdür x[B] = [A].
- x = [B] * [A], [B] denkleminin çözümüdürx = [A].
- Her matematik işlemini denklemin her iki tarafında gerçekleştirin. [A] = [C] ise [B] [A] ≠ [C] [B] çünkü [B], [A]'nın solunda ama [C]'nin sağındadır.
2 Son matrisin boyutunu belirleyin. Son matrisin boyutu, çarpılan matrislerin boyutuna bağlıdır. Son matristeki satır sayısı birinci matristeki satır sayısına, son matristeki sütun sayısı ikinci matristeki sütun sayısına eşittir.
- Örneğimizde, her iki matrisin boyutu ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 13 ve 26 39 ve 13 bitiş {pmatrix}}}$ ve ${ displaystyle { {pmatrix} { frac {3} {13}} ve { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ve { frac {7 } {13}} bitiş {pmatrix}}}$ 2 x 2 olduğundan orijinal matrisin boyutu 2 x 2 olacaktır.
- Daha karmaşık bir örnek düşünün: [A] matrisinin boyutu 4 x 3 ve [B] matrisinin boyutu 3 x 3, o zaman son matris [A] * [B] 4 x 3 olacaktır.
3 İlk elemanın değerini bulun. Bu makaleyi okuyun veya aşağıdaki temel adımları unutmayın:
- [A] [B] son matrisinin ilk öğesini (ilk satır, ilk sütun) bulmak için, [A] matrisinin ilk satırının öğeleri ile [B] matrisinin ilk sütununun öğelerinin nokta çarpımını hesaplayın. ]. 2 x 2 matris durumunda, nokta çarpım aşağıdaki gibi hesaplanır: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Örneğimizde: ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { {pmatrix} { frac {3} {13}} ve { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} bitiş {pmatrix}}}$ ... Böylece, son matrisin ilk elemanı şu eleman olacaktır:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ görüntü stili = 3 + -4}$
  ${ görüntü stili = -1}$
4 Son matrisin her bir elemanını bulmak için nokta çarpımları hesaplamaya devam edin. Örneğin, ikinci satırda ve birinci sütunda bulunan eleman, [A] matrisinin ikinci satırının ve [B] matrisinin birinci sütununun nokta çarpımına eşittir. Kalan öğeleri kendiniz bulmaya çalışın. Aşağıdaki sonuçları almalısınız:
- ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { {pmatrix} { frac {3} {13}} ve { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} ve { frac {7} {13}} bitiş {pmatrix}} = { başlangıç {pmatrix} -1 ve 10 7 ve -5 bitiş {pmatrix}}}$
- Başka bir çözüm bulmanız gerekiyorsa: ${ displaystyle { {pmatrix} { frac {3} {13}} ve { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ve { frac {7 } {13}} bitiş {pmatrix}} * { başlangıç {pmatrix} 13 ve 26 39 ve 13 bitiş {pmatrix}} = { başlangıç {pmatrix} -9 ve 2 19 ve 3 bitiş {pmatrix}}}$

İpuçları

Matris bir skalere bölünebilir; bunun için matrisin her bir elemanı bir skalere bölünür.
- Örneğin, eğer matris ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 6 ve 8 2 ve 4 bitiş {pmatrix}}}$ 2'ye bölündüğünde matrisi elde edersiniz ${ displaystyle { başlangıç {pmatrix} 3 ve 4 1 ve 2 bitiş {pmatrix}}}$

Uyarılar

Matris hesaplamaları söz konusu olduğunda hesap makinesi her zaman kesinlikle doğru sonuçlar vermez. Örneğin, hesap makinesi öğenin çok küçük bir sayı (2E gibi) olduğunu iddia ederse, değer büyük olasılıkla sıfırdır.