İçerik

• Adımlar
• Tavsiye

Hız, bir nesnenin belirli bir yöndeki hızı olarak tanımlanır. Çoğu durumda, hızı bulmak için v = s / t denklemini kullanacağız; burada v hızdır, s nesnenin orijinal konumundan yer değiştirmesinin toplam mesafesi ve t, nesnenin hareket etmesi için geçen süredir. tüm yolu git. Bununla birlikte, teoride bu formül yalnızca hız içindir orta yolda şeyler. Mesafe boyunca herhangi bir noktada nesnenin hızını hesaplayarak. Yani Ulaşım süresi ve denklem ile tanımlanır v = (ds) / (dt)veya başka bir deyişle, ortalama hız denkleminin türevidir.

Adımlar

Bölüm 1/3: Anlık hızı hesaplayın

1. 

   
   
   Yer değiştirme mesafesine göre hızı hesaplamak için bir denklemle başlayın. Anlık hızı bulmak için, önce herhangi bir zamanda nesnenin konumunu (yer değiştirme açısından) gösteren bir denkleme sahip olmamız gerekir. Bu, denklemin yalnızca bir değişkene sahip olması gerektiği anlamına gelir S bir tarafta ve dön t diğer tarafta (yalnızca bir değişken olması gerekmez), şöyle:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • Bu denklemde değişkenler şunlardır:

     s = yer değiştirme. Nesnenin orijinal konumundan hareket ettiği mesafe. Örneğin, bir nesne 10 metre ileri ve 7 metre geri yürüyebiliyorsa, toplam hareket mesafesi 10 - 7'dir = 3 metre (10 + 7 = 17m değil).

     t = zaman. Bu değişken açıklama olmaksızın basittir ve genellikle saniye cinsinden ölçülür.

2. 

   
   
   Denklemin türevini alın. Denklemin türevi, belirli bir zamandaki mesafenin eğimini gösteren başka bir denklemdir. Denklemin yer değiştirme mesafesine göre türevini bulmak için, türevi hesaplamak için aşağıdaki genel kurala göre fonksiyonun diferansiyelini alın: Y = a * x ise, Türev = a * n * x. Bu, denklemin "t" tarafındaki tüm terimler için geçerlidir.
   • Başka bir deyişle, denklemin "t" tarafında soldan sağa diferansiyeli almaya başlayın. "T" değişkeniyle her karşılaştığınızda, üssü 1 ile çıkarırsınız ve terimi orijinal üsle çarparsınız. Herhangi bir sabit terim ("t" içermeyen terimler) 0 ile çarpıldığı için kaybolacaktır. İşlem aslında düşündüğünüz kadar zor değildir - örnek olarak yukarıdaki adımdaki denklemi alalım:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   "S" yi "ds / dt" ile değiştirin. Yeni denklemin orijinal karenin türevi olduğunu göstermek için, "s" yi "ds / dt" sembolüyle değiştiririz. Teoride, bu gösterim "s'nin t cinsinden türevi" dir. Bu gösterimi anlamanın daha basit bir yolu olan ds / dt, ilk denklemdeki herhangi bir noktanın eğimidir. Örneğin, t = 5 anında s = -1.5t + 10t + 4 denklemiyle açıklanan mesafenin eğimini bulmak için, denklemin türevinde t yerine "5" koyarız.
   • Yukarıdaki örnekte, denklemin türevi şuna benzer:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Anlık hızı bulmak için yeni denkleme t için bir değer koyun. Artık türev denklemimiz olduğuna göre, herhangi bir anda anlık hızı bulmak çok kolaydır. Tek yapmanız gereken bir t-değeri seçmek ve onu türev denklemle değiştirmek. Örneğin, t = 5'teki anlık hızı bulmak istiyorsak, ds / dt = -3t + 10 türev denkleminde t yerine "5" koymamız gerekir. Denklemi şöyle çözeceğiz
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 metre / saniye

   • Yukarıdaki "metre / saniye" birimini kullandığımıza dikkat edin.Hızın tam olarak zamanda yer değiştirme olduğu yerde, yer değiştirme problemini metre ve zaman olarak saniye cinsinden çözdüğümüz için bu birim uygundur.
   İlan

Bölüm 2/3: Anlık hızı grafiksel olarak tahmin etme

1. 

   Nesnenin zaman içindeki hareket mesafesinin grafiğini çıkarın. Yukarıdaki bölümde, türevin aynı zamanda türevden alınan denklemin herhangi bir noktasındaki eğimi bulmamızı sağlayan bir formül olduğunu söylemiştik. Aslında, nesnenin hareket mesafesini bir grafikte gösterirseniz, Herhangi bir noktadaki grafiğin eğimi, nesnenin o noktadaki anlık hızıdır..
   • Hareket mesafelerinin grafiğini oluşturmak için zaman için x eksenini ve yer değiştirme için y eksenini kullanın. Daha sonra t'nin değerlerini hareket denklemine yerleştirerek bir dizi nokta belirlersiniz, sonuç s değerleridir ve grafikte t, s (x, y) noktalarına nokta koyarsınız.
   • Grafiğin x ekseninin altına uzanabileceğini unutmayın. Nesnenin hareketini gösteren çizgi x eksenine inerse, bu, nesnenin orijinal konumundan geriye doğru hareket ettiği anlamına gelir. Genel olarak, grafik y ekseninin arkasına uzanmaz - genellikle zamanda geriye hareket eden nesnelerin hızını ölçmeyiz!

2. 

   Grafikte P noktasının yakınında bulunan bir P noktası ve bir Q noktası seçin. P noktasındaki grafiğin eğimini bulmak için "sınır bulma" tekniğini kullanırız. Bir limit bulmak, eğri üzerinde iki nokta (P ve Q (P'ye yakın bir nokta)) almak ve bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğimini bulmak, P ve Q arasındaki mesafe kısaldıkça bu işlemi tekrarlamak anlamına gelir. yavaş yavaş.
   • Yer değiştirme mesafesinin (1; 3) ve (4; 7) noktaları olduğunu varsayın. Bu durumda, eğimi (1; 3) 'de bulmak istiyorsak, o zaman ayarlayabiliriz (1; 3) = P ve (4; 7) = Q.

3. 

   P ve Q arasındaki eğimi bulun. P ve Q arasındaki eğim, P ve Q için y değerlerinin P ve Q için x değerlerinin farkı üzerindeki farkıdır. Başka bir deyişle, H = (y_Q - y_P) / (x_Q - x_P), burada H iki nokta arasındaki eğimdir. Bu örnekte, P ve Q arasındaki eğim:
   

   H = (y_Q - y_P) / (x_Q - x_P)
   H = (7-3) / (4-1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Q'yu P'ye yaklaştırarak birkaç kez tekrarlayın. Amaç, P ve Q arasındaki mesafeyi tek bir noktaya ulaşana kadar daraltmaktır. P ve Q arasındaki mesafe ne kadar küçükse, sonsuz küçük parçanın eğimi P noktasındaki eğime o kadar yakın olacaktır. Örnek denklemimiz için noktaları (2; 4) kullanarak birkaç kez tekrarlayın. , 8), (1.5; 3.95) ve (1.25; 3.49) Q'yu verir ve P'nin başlangıç ​​koordinatları (1; 3):
   

   S = (2; 4.8): H = (4,8 - 3) / (2-1)
   H = (1.8) / (1) = 1,8
   
   S = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Grafik eğrisindeki çok küçük parçanın eğimini tahmin eder. Q, P'ye yaklaştıkça, H yavaş yavaş P'deki eğime yaklaşacaktır. Son olarak, çok küçük bir çizgide H, P'deki eğim olacaktır. Çünkü ölçemiyoruz veya hesaplayamıyoruz. Bir parçanın uzunluğu son derece küçüktür, bu nedenle yalnızca hesapladığımız noktalardan açıkça görülebildiğinde P'deki eğimi tahmin edin.
   • Yukarıdaki örnekte, H'yi P'ye yaklaştırdıkça, H için 1,8 değerine sahibiz; 1.9 ve 1.96. Bu sayılar 2'ye yaklaştığı için diyebiliriz 2 P'deki eğimin yaklaşık değeridir.
   • Grafikteki herhangi bir noktadaki eğimin, o noktadaki grafik denkleminin türevi olduğunu unutmayın. Grafik bir nesnenin zaman içindeki yer değiştirmesini gösterdiğinden, önceki bölümde gördüğümüz gibi, herhangi bir noktadaki anlık hızı, nesnenin problem noktasındaki yer değiştirme mesafesinin türevidir. Erişim diyebiliriz 2 metre / saniye t = 1 durumundaki anlık hızın yaklaşık bir tahminidir.
   İlan

Bölüm 3/3: Örnek problem

1. 

   Yer değiştirme denklemi s = 5t - 3t + 2t + 9 ile t = 1 anında anlık hızı bulun. İlk bölümdeki örnek gibi, ancak bu ikinci dereceden değil kübiktir, bu nedenle sorunu aynı şekilde çözebiliriz.
   • İlk önce denklemin türevini alın:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Sonra t (4) değerini şurada değiştiririz:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = Saniyede 22 metre

2. 

   Yer değiştirme denklemi s = 4t - t için (1; 3) 'deki anlık hızı bulmak için grafik tahmin yöntemini kullanın. Bu problem için, koordinatları (1; 3) P noktası olarak kullanıyoruz, ancak yakınında bulunan diğer Q noktalarını bulmalıyız. O zaman tek yapmamız gereken H değerlerini bulmak ve tahmini değeri çıkarmak.
   • İlk olarak, t = 2 olduğunda Q noktalarını buluruz; 1.5; 1.1 ve 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, yani S = (2; 14)
     
     t = 1.5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, yani Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1.1: s = 4 (1,1) - (1,1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, yani S = (1.1; 3.74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, işte bu kadar Q = (1.01; 3.0704)

   • Daha sonra H değerlerini alacağız:
     

     S = (2; 14): H = (14 - 3) / (2-1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     S = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     S = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0.74) / (0.1) = 7,3
     
     Q = (1.01; 3.0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
     H = (0.0704) / (0.01) = 7,04

   • H değerleri 7'ye yakın göründüğü için şunu söyleyebiliriz Saniyede 7 metre (1; 3) koordinatındaki anlık hızın yaklaşık bir tahminidir.
   İlan

Tavsiye

• İvmeyi bulmak için (zamanla hızdaki değişim), yer değiştirme denkleminin türevini elde etmek için birinci bölümdeki yöntemi kullanın. Daha sonra bulduğunuz türev denklem için türevi tekrar alın. Sonuç olarak, belirli bir zamandaki ivme için bir denklem elde edersiniz - tek yapmanız gereken zamanı girmek.
• Y (yer değiştirme mesafesi) ile X (zaman) arasındaki ilişkiyi gösteren denklem Y = 6x + 3 gibi çok basit olabilir. Bu durumda eğim sabittir ve almak gerekli değildir eğimi hesaplamak için türev, yani doğrusal bir grafik için Y = mx + b temel denklem formunu takip eder, yani eğim 6'ya eşittir.
• Yer değiştirme mesafesi, mesafe ile aynıdır, ancak bir yönü vardır, bu nedenle bir vektör miktarıdır ve hız skaler bir miktardır. Seyahat mesafeleri negatif olabilirken, mesafeler yalnızca pozitif olabilir.