İçerik

• Adım atmak
• Bölüm 1/3: "Paylaşmanın" imkansız olduğunu anlayın
• Bölüm 2/3: Matrisi ters çevirme
• Bölüm 3/3: Problemi tamamlamak için matrisleri çarpın
• İpuçları
• Uyarılar

İki matrisi nasıl çarpacağınızı biliyorsanız, bir matrisi başka bir matrise "bölebilirsiniz". Matrisler teknik olarak paylaşılamadığı için paylaşım tırnak içindedir. Bunun yerine, bir matrisi çarptık. ters başka bir matristen. Bu hesaplamalar genellikle doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanılır.

Adım atmak

Bölüm 1/3: "Paylaşmanın" imkansız olduğunu anlayın

1. Bir matrisi "bölen" ne olduğunu anlayın. Teknik olarak matris bölme diye bir şey yoktur. Dizileri paylaşmak tanımlı bir işlev değildir. En yakın şey, başka bir matrisin tersiyle çarpmaktır. Diğer bir deyişle, [A] ÷ [B] tanımlanmamış olmasına rağmen, [A] * [B] problemini çözebilirsiniz. Bu iki denklem skalere eşdeğer olduğundan, bu bir matris bölümü gibi "hissedilir", ancak doğru terminolojiyi kullanmak önemlidir.
   • [A] * [B] ve [B] * [A] 'nın aynı sorun olmadığını unutmayın. Tüm olası cevapları bulmak için her ikisini de çözmeniz gerekebilir.
   • Örneğin, yerine ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$"Bölen matrisinin" kare olup olmadığını kontrol edin. Bir matrisin tersini belirleyebilmek için, matrisin aynı sayıda satır ve sütuna sahip bir kare matris olması gerekir. Tersine çevirmek istediğiniz matris bir kare matris değilse, o zaman sorunun benzersiz bir çözümü yoktur.
     • "Bölen matris" terimi biraz gevşektir, çünkü bu aslında bir alt problem değildir. [A] * [B] için bu, [B] matrisine atıfta bulunur. Örneğimizde bu ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 ve 4 2 ve 3 end {pmatrix}}}$İki matrisin birlikte çarpılıp çarpılamayacağını kontrol edin. İki matrisi çarpabilmek için, birinci matristeki sütun sayısının ikinci matristeki satır sayısına eşit olması gerekir. Bu her iki durumda da işe yaramazsa ([A] * [B] veya [B] * [A]), sorunun çözümü yoktur.
       • Örneğin, [A] bir 4 x 3 matris (4 satır, 3 sütun) ve [B] bir 2 x 2 matris (2 satır, 2 sütun) ise çözüm yoktur. [A] * [B] çalışmıyor çünkü 3 ≠ 2 ve [B] * [A] çalışmıyor çünkü 2 ≠ 4.
       • Ters [B] 'nin her zaman orijinal matris [B] ile aynı sayıda satır ve sütuna sahip olduğunu bilin. Bu adımı tamamlamak için tersini hesaplamaya gerek yoktur.
       • Örnek problemimizde, her iki matris de 2x2'dir, bu nedenle herhangi bir sırayla çarpılabilirler.
     • 2 x 2 matrisin determinantını bulun. Bir matrisin tersini belirlemeden önce gerekli başka bir kontrol vardır. Matrisin determinantı sıfır olamaz. Belirleyici sıfır ise, matrisin tersi yoktur. En basit durumda (2 x 2 matris) determinantı şu şekilde belirleyeceksiniz:
       • 2 x 2 matris: matrisin determinantı ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$Daha büyük bir matrisin determinantını bulun. Matrisiniz 3 x 3 veya daha büyükse, determinantı belirlemek için biraz daha çalışma yapılması gerekir:
         • 3 x 3 matris: Bir eleman seçin ve ait olduğu satır ve sütunu çaprazlayın. Kalan 2 x 2 matrisin determinantını bulun, seçilen elemanla çarpın ve karakteri belirlemek için bir matris karakter tablosu tutun. İlk seçtiğiniz aynı satır ve sütundaki diğer iki öğe için tekrarlayın, ardından üç determinantı da ekleyin. Bunun nasıl daha hızlı yapılacağına ilişkin adım adım talimatlar ve ipuçları için bu makaleyi okuyun.
         • Daha büyük matrisler: Bir grafik hesaplayıcı veya yazılımın kullanılması önerilir. Yöntem, 3 x 3 matrisle aynıdır, ancak bunu elle yaparsanız çok zaman alır. Örneğin, 4 x 4 matrisin determinantını bulmak için, önce dört 3 x 3 matrisin determinantını bulmalısınız.
       • Devam et. Matrisiniz kare değilse veya determinantı sıfırsa, onu "benzersiz bir çözüm değil" olarak yazın. Sorun tamamlandı. Matris bir kareyse ve determinantı sıfır değilse, bir sonraki adım için bir sonraki bölümle devam edin: tersini belirleme.

Bölüm 2/3: Matrisi ters çevirme

1. 2 x 2 ana köşegenin elemanlarının konumlarını değiştirin. 2 x 2'lik bir matrisle uğraşıyorsanız, bu hesaplamayı çok daha kolay hale getirmek için bir kısayol kullanabilirsiniz. Bu hızlı düzeltmenin ilk adımı, sol üst öğeyi sağ alt öğe ile değiştirmektir. Örneğin:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 ve 4 2 ve 3 end {pmatrix}}}$Diğer iki öğenin tersini alın ama onları bu konumda bırakın. Başka bir deyişle, en üstteki ile çarpın hakim ve alt ayrıldı-1 ile elemanlar:
     • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 ve 4 2 ve 7 end {pmatrix}}}$Determinantın karşılığını alın. Bu matrisin determinantını yukarıdaki bölümde buldunuz, bu yüzden onu yeniden hesaplamanıza gerek yok. Sadece 1 / (determinant) ifadesinin karşılığını yazın:
       • Örneğimizde determinant 13'tür. Bunun karşılığı şu şekildedir: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$Yeni matrisi determinantın tersi ile çarpın. Yeni matrisin her bir elemanını bulduğunuz tersi ile çarpın. Ortaya çıkan matris, 2 × 2 matrisinin tersidir:
         • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 ve 7 end {pmatrix}}}$Tersinin doğru olduğunu onaylayın. Çalışmanızı kontrol etmek için, tersini orijinal matrisle çarpın. Tersi doğruysa, çarpımı her zaman matrisin kimliğidir, ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 ve 0 0 ve 1 end {pmatrix}}}$3 x 3 veya daha büyük bir matrisin matris tersine çevrilmesini bulun. Bu süreçte yeni değilseniz, bir grafik hesap makinesi veya daha büyük matrislere sahip matematik yazılımı kullanarak kendinize çok zaman kazandırabilirsiniz. El ile hesaplamanız gerekiyorsa, kullanabileceğiniz bir yöntemin hızlı bir özetini burada bulabilirsiniz:
           • I kimlik matrisini matrisinizin sağ tarafına ekleyin. Örneğin, [B] → [B | BEN]. Özdeşlik matrisi, ana köşegen boyunca "1" öğelere ve diğer tüm konumlarda "0" öğelerine sahiptir.
           • Sol taraf satır basamaklı şekle gelene kadar matrisi küçültmek için satır düzenlemeleri yapın ve sol taraf kimlik matrisi olana kadar azaltmaya devam edin.
           • Tüm işlem tamamlandığında, matrisiniz [I | B]. Başka bir deyişle, sağ taraf orijinal matrisin tersi olacaktır.

Bölüm 3/3: Problemi tamamlamak için matrisleri çarpın

1. Her iki olası denklemi de yazın. Skalerlerle "ortak matematik" te çarpma değişmeli; 2 x 6 = 6 x 2. Bu matrisler için geçerli değildir, bu nedenle iki problem çözmeniz gerekebilir:
   • [A] * [B] çözümdür X problem için X[B] = [A].
   • [B] * [A] çözümdür X problem için [B]X = [A].
   • Bu bir denklemin parçasıysa, denklemin her iki tarafına da aynı işlemi uyguladığınızdan emin olun. [A] = [C] ise, [B] [A] olur değil [C] [B] ile aynı, çünkü [B] [A] 'nın solunda, ancak [C]' nin sağında.
2. Cevabınızın boyutlarını belirleyin. Nihai matrisin boyutları, iki faktörün dış boyutlarıdır. İlk matrisle aynı sayıda satıra ve ikinci matrisle aynı sayıda sütuna sahiptir.
   • Orijinal örneğe dönersek: her ikisi de ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 ve 26 39 ve 13 end {pmatrix}}}$İlk elemanın değerini belirleyin. Ayrıntılı talimatlar için bağlantılı makaleye bakın veya bu özetle bilgilerinizi tazeleyin:
     • [A] [B] 'nin 1. satır, 1. sütununu bulmak için, [A] 1. satır ve [B] sütunun 1. iç çarpımını bulun. Dolayısıyla, 2 x 2 matris için hesaplama yaparsınız. ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$Matrisinizdeki her konum için iç çarpımı hesaplayın. Örneğin, 2,1 konumundaki öğe [A] satır 2 ve [B] sütunun 1 iç çarpımıdır. Örneği kendiniz çözmeye çalışın. Aşağıdaki cevapları almalısınız:
       • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
       • Ve diğer çözüm: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 son {pmatrix}}}$

İpuçları

• Matrisin her bir elemanını skalere bölerek bir matrisi bir skalere bölebilirsiniz.
  • Örneğin, matris ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 ve 8 2 ve 4 end {pmatrix}}}$ 2'ye bölünür = ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 ve 4 1 ve 2 end {pmatrix}}}$

Uyarılar

• Hesap makineleri, matris hesaplamalarında her zaman% 100 doğru değildir. Örneğin, hesap makineniz bir öğenin çok küçük bir değere sahip olduğunu gösteriyorsa (örneğin 2E), değer büyük olasılıkla sıfırdır.