Hesap makinesi olmadan bir sayının karekökünü hesaplama

İçerik

Adım atmak
Yöntem 1/2: Asal faktörlerle kök çekme
Yöntem 2/2: Hesap makinesi olmadan karekök bulma
Uzun bölme ile
Prosedürü anlayın
İpuçları
Uyarılar

Hesap makinelerinin ortaya çıkmasından önce, hem öğrenciler hem de profesörler kalem ve kağıtla karekök hesaplamak zorundaydı. O zamanlar bu bazen zor olan işin üstesinden gelmek için çeşitli teknikler geliştirildi, bunlardan bazıları kaba bir tahmin verirken diğerleri tam değeri hesapladı. Birkaç kolay adımda bir sayının karekökünü nasıl bulacağınızı öğrenmek için okumaya devam edin.

Adım atmak

Yöntem 1/2: Asal faktörlerle kök çekme

Numaranızı güç faktörlerine bölün. Bu yöntem, bir sayının karekökünü bulmak için bir sayının faktörlerini kullanır (sayıya bağlı olarak, kesin bir cevap veya bir tahmin olabilir). The faktörler belirli bir sayı, belirli bir sayıyı oluşturmak için çarpılan herhangi bir sayı dizisidir. Örneğin, 2 × 4 = 8 olduğu için 8'in çarpanlarının 2 ve 4'e eşit olduğunu söyleyebilirsiniz. Öte yandan, mükemmel kareler, diğer tamsayıların çarpımı olan tam sayılardır. Örneğin 25, 36 ve 49 mükemmel karelerdir çünkü bunlar sırasıyla 5, 6 ve 7'ye eşittir İkinci güç çarpanları, sizin de anlayacağınız gibi, aynı zamanda mükemmel kareler olan faktörlerdir. Asal çarpanları kullanarak bir karekök bulmak için, önce sayıyı ikinci kuvvet çarpanlarına bölmeye çalışın.
- Aşağıdaki örneği ele alalım. 400'ün karekökünü bulacağız. Başlangıç olarak, sayıyı güç faktörlerine ayırıyoruz. 400, 100'ün katı olduğundan, 25'e eşit olarak bölünebileceğini biliyoruz - tam bir kare. Quick rote bize 400/25 = 16.16'nın da tam bir kare olduğunu söyler. Yani 400'ün küp çarpanları 25 ve 16 çünkü 25 × 16 = 400.
- Bunu şöyle yazıyoruz: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
İkinci güç faktörlerinin kareköklerini al. Kareköklerin çarpım kuralı, herhangi bir sayı için a ve b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Bu özellik nedeniyle, şimdi kareler çarpanlarının kareköklerini alıp, cevabı elde etmek için bunları çarpabiliriz.
- Örneğimizde, 25 ve 16'nın kareköklerini alıyoruz. Aşağıya bakınız:
  - Sqrt (25 × 16)
  - Sqrt (25) × Sqrt (16)
  - 5 × 4 = 20
Numaranız mükemmel bir şekilde çarpanlarına alınamıyorsa, basitleştirin. Gerçekte, kareköklerini belirlemek istediğiniz sayılar, 400 gibi güzel kareler ile güzel yuvarlanmış sayılar olmayacaktır. Bu durumlarda, yanıt olarak bir tam sayı elde etmek mümkün olmayabilir. Bunun yerine, bulabileceğiniz tüm güç faktörlerini kullanarak, yanıtı daha küçük, kullanımı daha kolay bir karekök olarak belirleyebilirsiniz. Bunu, sayıyı güç faktörleri ve diğer faktörlerin bir kombinasyonuna indirgeyerek ve ardından basitleştirerek yaparsınız.
- Örnek olarak 147'nin karekökünü alıyoruz. 147 iki tam karenin çarpımı değildir, bu yüzden güzel bir tamsayı değeri elde edemeyiz. Ama tam bir karenin ve başka bir sayının çarpımıdır - 49 ve 3. Bu bilgiyi, cevabımızı en basit terimlerle yazmak için kullanabiliriz:
  - Sqrt (147)
  - = Sqrt (49 × 3)
  - = Kare (49) × Kare (3)
  - = 7 × Kare (3)
Gerekirse basitleştirin. Karekökü en basit terimlerle kullanarak, kalan karekökleri tahmin edip bunları çarparak kabaca bir cevap tahmini elde etmek genellikle oldukça kolaydır. Tahminlerinizi geliştirmenin bir yolu, karekökünüzdeki sayının her iki yanındaki mükemmel kareleri bulmaktır. Karekökünüzdeki sayının ondalık değerinin bu iki sayı arasında bir yerde olduğunu biliyorsunuz, bu nedenle tahmininiz de bu sayılar arasında olmalıdır.
- Örneğimize dönelim. 2 = 4 ve 1 = 1 olduğundan, Sqrt (3) 'ün 1 ile 2 arasında olduğunu biliyoruz - muhtemelen 2'ye 1'den daha yakın. 1.7 olduğunu tahmin ediyoruz. 7 × 1.7 = 11,9. Bunu hesap makinesi ile kontrol edersek, cevaba oldukça yakın olduğumuzu görürüz: 12,13.
  - Bu aynı zamanda daha büyük sayılar için de geçerlidir. Örneğin, sqrt (35) kabaca 5 ile 6 arasındadır (muhtemelen 6'ya yakın). 5 = 25 ve 6 = 36.35, 25 ile 36 arasındadır, dolayısıyla karekök 5 ile 6 arasında olacaktır. 35, 36'nın hemen altında olduğu için, bunun karekökünün sadece 6'dan küçüktür. Bir hesap makinesi ile kontrol etmek bize yaklaşık 5,92'lik bir cevap verir - haklıydık.
Alternatif olarak, ilk adım olarak, sayıyı basitleştirebilirsiniz. en küçük ortak Kat. Bir sayının asal çarpanlarını (aynı zamanda asal sayı olan çarpanlar) kolayca bulabiliyorsanız, güç faktörlerini aramak gerekli değildir. Sayıyı en az ortak katlar cinsinden yazın. Ardından eşleşen asal sayı çiftleri için çarpanlarınız arasında arama yapın. Eşleşen iki asal çarpan bulduğunuzda, bunları karekökten çıkarın ve yerleştirin. a Bu sayıların karekök işaretinin dışında.
- Örneğin, bu yöntemi kullanarak 45'in karekökünü belirliyoruz. 45 = 9 × 5 olduğunu ve 9 = 3 × 3 olduğunu biliyoruz. Yani karekökü şu şekilde yazabiliriz: Sqrt (3 × 3 × 5). Basit bir karekök elde etmek için 3'leri silin ve karekökün dışına 3'ü yerleştirin: (3) Sqrt (5). Artık kolayca bir tahminde bulunabilirsiniz.
- Son bir örnek; 88'in karekökünü belirleriz:
  - Sqrt (88)
  - = Sqrt (2 × 44)
  - = Sqrt (2 × 4 × 11)
  - = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Karekökümüzde birkaç 2 var. 2 asal olduğu için, bir çifti kaldırabilir ve kökün dışına 2 yerleştirebiliriz.
  - = En basit terimlerle karekökümüz (2) Sqrt (2 × 11) veya (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Şimdi Sqrt (2) ve Sqrt (11) 'e yaklaşabilir ve istersek yaklaşık bir cevap bulabiliriz.

Yöntem 2/2: Hesap makinesi olmadan karekök bulma

Uzun bölme ile

Numaranızın rakamlarını çiftlere ayırın. Bu yöntem, uzun bölmeye benzer, böylelikle tam bir sayının basamak basamak karekökü. Gerekli olmasa da, bir sayıyı uygulanabilir parçalara bölmek, özellikle uzunsa çözmeyi kolaylaştırabilir. Önce çalışma alanını 2 alana bölen dikey bir çizgi, ardından sağ alanın üst kısmına yakın daha kısa bir çizgi çizin ve bunu daha küçük bir üst kısma ve daha büyük bir alt kısma ayırın. Ardından, sayıyı ondalık noktadan başlayarak sayı çiftlerine bölün. Bu kurala göre, 79520789182.47897, "7 95 20 78 91 82.47 89 70" olur. Bu numarayı sol üst alana yazın.
- Örnek olarak 780.14'ün karekökünü hesaplayalım. Çalışma alanınızı yukarıdaki gibi bölün ve sol üst köşeye "7 80, 14" yazın. En solda iki yerine yalnızca bir sayı olması sorun değil. Daha sonra cevabı (780.14'ün karekökü) sağ alanın üstüne yazarsınız.
En büyük tamsayıyı bulun n karesi en soldaki basamak veya sayıdan küçük veya ona eşittir. Bu sayıdan küçük veya ona eşit olan en büyük kareyi bulun ve sonra bu karenin karekökünü bulun. Bu numara n. Bunu sağ üst alana yazın ve o alanın alt çeyreğine n'nin karesini yazın.
- Örneğimizde, en soldaki rakam 7 sayısıdır. 2 = 4 ≤ 7 3 = 9 olduğunu bildiğimiz için, n = 2 diyebiliriz çünkü bu, karesi 7'den küçük veya ona eşit olan en büyük tam sayıdır. Sağ üst çeyreğe 2 yazın. Bu, cevabın ilk rakamıdır. Sağ alt çeyreğe 4 (2'nin karesi) yazın. Bu sayı bir sonraki adım için önemlidir.
Hesapladığınız sayıyı çıkarın en soldaki rakamın veya sayının. Uzun bölmede olduğu gibi, bir sonraki adım, kareyi hesaplama için az önce kullandığımız sayıdan çıkarmaktır. Bu sayıyı en soldaki sayının altına yazın ve çıkarın. Cevabı aşağıya yazın.
- Örneğimizde, 7'nin altında 4 yazıp çıkarıyoruz. Bu verir 3 cevap olarak.
Sonraki sayıyı aşağı taşı. Bunu, önceki düzenlemede bulduğunuz değerin yanına yerleştirin. Sağ üstteki sayıyı ikiyle çarpın ve sağ alt kısma yazın. Bir sonraki adımda yapacağınız toplam için az önce yazdığınız sayının yanında boşluk bırakın. Buraya "_ × _ =" "yazın.
- Örneğimizde, sonraki sayı "80" dir. Sol çeyrekteki 3'ün yanına "80" yazın. Sonra sağ üstteki sayıyı 2 ile çarpın. Bu sayı 2'dir, yani 2 × 2 = 4. Sağ alt tarafa "" 4 "yazın, ardından _×_=.
Sağdaki sayıları girin. Toplamın boş alanına (sağda), sağdaki çarpma toplamının sonucunu soldaki geçerli sayıdan küçük veya ona eşit yapacak en büyük tamsayıyı girin.
- Örneğimizde 8 giriyoruz ve bu 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384 veriyor. Bu 380'den büyük. Yani 8 çok büyük ama 7 muhtemelen değil. 7'yi doldurun ve çözün: 4 (7) × 7 = 329. 7 iyidir çünkü 329 380'den küçüktür. Sağ üste 7 yazın. Bu, 780.14'ün karekökündeki ikinci basamaktır.
Az önce hesapladığınız sayıyı soldaki geçerli sayıdan çıkarın. Böylece sağdaki çarpma işleminin sonucunu soldaki mevcut cevaptan çıkarırsınız. Cevabınızı doğrudan onun altına yazın.
- Örneğimizde, 380'den 329 çıkardık ve bu, 51 Sonuç olarak.
4. adımı tekrarlayın. Sonraki sayı çiftini 780.14'ten aşağı taşıyın. Bir virgülle geldiğinizde, o virgülü sağdaki yanıta yazın. Sonra sağ üstteki sayıyı 2 ile çarpın ve yukarıdaki gibi cevabı ("_ × _") yanına yazın.
- Cevabımıza şimdi virgül yazıyoruz çünkü 780.14'te bununla da karşılaşıyoruz. Sonraki çifti (14) sol çeyrekten aşağı hareket ettirin. 27 x 2 = 54, bu yüzden sağ alt çeyreğe "54 _ × _ =" yazıyoruz.
5. ve 6. adımları tekrarlayın. Soldaki geçerli sayıdan küçük veya ona eşit bir yanıt veren en büyük sayıyı bulun. Çöz.
- Örneğimizde 549 × 9 = 4941, soldaki sayıdan küçük veya ona eşittir (5114). 549 × 10 = 5490, ki bu çok yüksek, bu yüzden cevabımız 9. Bir sonraki sağ üst sayı olarak 9 yazın ve çarpmanın sonucunu soldaki sayıdan çıkarın: 5114 -4941 = 173.
Sonucu doğru yapmak için, cevabı ihtiyacınız olan ondalık basamak (yüzde, binde biri) ile bulana kadar önceki prosedürü tekrarlayın.

Prosedürü anlayın

Karekökünü hesaplamak istediğiniz sayıyı bir karenin S alanı olarak düşünün. Bir karenin alanı L olduğu için, L, kenarlarından birinin uzunluğu olduğundan, sayınızın karekökünü bularak, o karenin kenarının L uzunluğunu hesaplamaya çalışırsınız.
Cevabınızın her basamağına bir harf verin. A değişkenini L'nin ilk basamağı olarak girin (hesaplamaya çalıştığımız karekök). B ikinci basamaktır, C üçüncü basamaktır vb.
Başladığınız sayının her "sayı çiftine" bir harf verin. S değişkenini verin_a S'deki ilk basamak çiftine (başlangıç değeri), S._b ikinci basamak çiftine vb.
Bu yöntem ile uzun bölünme arasındaki ilişkiyi anlayın. Bu karekök bulma yöntemi, esasen uzun bir bölmedir, burada başlangıç değerini kareköküne böler ve yanıt olarak karekökü "verirsiniz". Uzun bölmede olduğu gibi, bir seferde sadece bir sonraki rakamla ilgilendiğinizde, bir seferde sadece sonraki iki rakamla ilgilenirsiniz (karekökün bir sonraki rakamına karşılık gelir).
Karesi S'ye eşit veya küçük olan en büyük sayıyı bulun._a dır-dir. Cevabımızdaki ilk A rakamı, karesi S'den büyük olmayan en büyük tam sayıdır._a (A² ≤ Sa (A + 1) ² olacak şekilde bir). Örneğimizde, S_a = 7 ve 2² ≤ 7 3², yani A = 2.
- Uzun bölme kullanarak 88962'yi 7'ye bölerseniz, ilk adım eşittir: İlk olarak 88962'nin (8) ilk basamağıyla ilgilenirsiniz ve en büyük basamağın 8'den küçük veya ona eşit olan 7 ile çarpılmasını istersiniz. belirlemek d öyle ki 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). Bu durumda, d 1'e eşittir.
Alanını bulmak istediğiniz kareyi görselleştirin. Cevabınız, başlangıç değerinin karekökü, S alanına sahip bir karenin uzunluğunu (başlangıç değeri) tanımlayan L'dir. A, B ve C değerleri, L değerindeki rakamları temsil eder. Bunu söylemenin başka bir yolu da 2 basamaklı bir yanıt için 10A + B = L ve 3 basamaklı bir yanıt için 100A + 10B'dir. + C = L vb.
- Örneğimizde (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Unutmayın ki 10A + B cevabımızı L ve birimler pozisyonundaki B ve onlar pozisyonundaki A'yı temsil eder. Örneğin, eğer A = 1 ve B = 2 ise, 10A + B 12 sayısıdır. (10A + B) ² tüm karenin alanı iken 100A² en büyük iç meydanın alanıdır, B² en küçük karenin alanı ve 10A × B kalan dikdörtgenlerin her birinin alanıdır. Bu uzun, karmaşık prosedür sayesinde, karelerin ve onun parçası olan dikdörtgenlerin alanlarını ekleyerek tüm karenin alanını bulabiliriz.
S'den A² çıkar._a. Bir çift sayı getirin (S._b) S. S. sayısından aşağıya_a S._b en büyük iç karenin alanını çıkardığınız karenin neredeyse toplam alanıdır. Geri kalan, örneğin 4. adımda elde ettiğimiz N1 sayısıdır (örneğimizde N1 = 380). N1, 2 × 10A × B + B²'ye eşittir (2 dikdörtgenin alanı artı küçük karenin alanı).
N1 = 2 × 10A × B + B²'ye bakın, ayrıca N1 = (2 × 10A + B) × B olarak yazılır. Örneğimizde, zaten N1 (380) ve A (2) 'yi biliyorsunuz, bu yüzden şimdi B'yi bulmanız gerekiyor. B muhtemelen bir tamsayı değildir, bu yüzden yapmalısın aslında (2 × 10A + B) × B ≤ N1 olacak şekilde en büyük B tamsayısını bulun. Şimdi elinizde: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
Denklemi çözün. Bu denklemi çözmek için, A'yı 2 ile çarpın, ona kaydırın (10 ile çarpın), B'yi birimlere koyun ve sonucu B ile çarpın.Başka bir deyişle, (2 × 10A + B) × B budur. 4. adımda sağ alt çeyreğe "N_ × _ =" (N = 2 × A ile) yazdığınızda tam olarak ne yaparsınız. 5. adımda, satırın altına uyan en büyük B tamsayısını belirlersiniz, böylece (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
(2 × 10A + B) × B alanını toplam alandan çıkarın. Bu, henüz hesaba katmadığınız (ve aşağıdaki sayıları aynı şekilde hesaplamak için kullandığınız) S- (10A + B) ² alanını verir.
Sonraki C rakamını hesaplamak için prosedürü tekrarlayın. Sonraki sayı çiftini S'den aşağı taşı (S_c) N2'yi sola getirmek için ve en büyük C'yi arayın, böylece şimdi sahip olursunuz: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (iki basamaklı "AB" sayısının iki katına eşittir. "_ × _ =" ile Şimdi buraya girebileceğiniz en büyük sayıyı belirleyin, bu size N2'den küçük veya ona eşit bir yanıt verecektir.

İpuçları

Virgülü iki basamak (faktör 100) hareket ettirmek, virgülün karşılık gelen karekökte bir basamak (10 çarpanı) hareket etmesini sağlar.
Örnekte, 1,73 "kalan" olarak kabul edilebilir: 780,14 = 27,9² + 1,73.
Bu yöntem, yalnızca ondalık (ondalık) sistem için değil, herhangi bir sayı sistemi için çalışır.
Hesaplamaları istediğiniz yere yerleştirmekten çekinmeyin. Bazı insanlar bunu karekökünü hesaplamak istedikleri sayının üzerine yazar.
Alternatif bir yöntem şudur: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Örneğin, 780.14'ün karekökünü hesaplamak için karesi 780.14'e (28) en yakın olan tamsayıyı alın, yani = 780.14, x = 28 ve y = -3.86. Doldurmak ve tahmin etmek bize x + y / (2x) verir ve bu da (basitleştirilmiş terimler) 78207/2800 veya yaklaşık 27.931 (1) verir; aşağıdaki terim, 4374188/156607 veya yaklaşık 27.930986 (5). Her terim bir öncekine yaklaşık 3 ondalık kesinlik katar.