İçerik

• Adım atmak
• Yöntem 1/1: İkinci Bölüm: İki tam sayının toplamını bulmak için 1'den N'ye kadar olan toplamı kullanma
• İpuçları
• Uyarılar

Tamsayılar, kesir veya ondalık sayı içermeyen tam sayılardır. Bir matematik problemi, 1'den belirli bir N değerine kadar bir tam sayı sayısının toplamını hesaplamanızı gerektiriyorsa, her bir değeri elle eklemeniz gerekmez. Bunun yerine, zamandan ve emekten tasarruf etmek için denklemi kullanın (N (N + 1)) / 2, burada N, serideki en yüksek sayıdır.

Adım atmak

1. En büyük tamsayıyı N olarak tanımlayın. 1'den belirli bir sayıya tamsayı eklerken N., N'nin kendisini pozitif bir tamsayı olarak tanımlamalısınız. N bir tamsayıdır, bu nedenle ondalık sayı veya kesir olamaz. N ayrıca negatif olmamalıdır.
   • Örnek olarak, 1'den 100'e kadar tüm tam sayıları eklemek istediğimizi varsayalım. Bu durumda 100, N'nin değeridir, çünkü bu serimizdeki son sayıdır, başka bir deyişle toplamadaki en büyük sayıdır.
2. N (N + 1) ile çarpın ve 2'ye bölün. N değerini tanımladığınızda, bu değeri (N (N + 1)) / 2 denklemine uygulayın. Bu denklem, 1 ile N arasındaki tüm tam sayıların toplamını bulur.
   • Örneğimizde, denkleme N'nin değeri olan 100'ü giriyoruz. (N (N + 1)) / 2 daha sonra (100 (100 + 1)) / 2 olur.
3. Cevabı hesaplayın. Bu denklemin son değeri, 1 ile N arasındaki tüm sayıların toplamıdır.
   • Bu örneği çözelim.
     • (100(100 + 1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 =
     • 5050. 1'den 100'e kadar tüm tam sayıların toplamıdır 5050.
4. (N (N + 1)) / 2 denkleminin nasıl türetildiğini anlayın. Örnek probleme bir kez daha bakın. Bu diziyi 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100'ü iki gruba bölün - 1'den 50'ye ve biri 51'den 100'e. İlk gruptaki ilk sayıyı (1) son sayıya eklerseniz ikinci grupta (100), 101 alırsınız. Aynı cevabı (101) 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 vb. ile alırsınız. Birinci gruptaki her sayıyı ikinci gruptaki karşılık gelen sayıya eklersek, aynı toplamı olan 50 çift sayı elde ederiz: 101. Yani, 50 x 101 = 5050, 1'den 100'e kadar olan tam sayıların toplamı 50'nin 100'ün yarısı ve 101'in 100 + 1 olduğuna dikkat edin. Aslında, bu gözlem herhangi bir pozitif tamsayı için geçerlidir - bileşenlerin eklenmesi iki gruba ayrılabilir ve bu gruplardaki sayılar her bir çiftin aynı toplamı olacak şekilde birbirine atanmıştır. Tek bir tam sayı dizisi için bir sayı kaldığına dikkat edin - bu son cevabı etkilemez.
   • Genel olarak, herhangi bir N sayısı için 1'den N'ye kadar olan sayıların toplamının (N / 2) (N + 1) 'e eşit olduğunu söyleyebiliriz. Bu denklemin basitleştirilmiş hali, tamsayılar denkleminin toplamı olan (N (N + 1)) / 2'dir.

Yöntem 1/1: İkinci Bölüm: İki tam sayının toplamını bulmak için 1'den N'ye kadar olan toplamı kullanma

1. Kapsayıcı mı yoksa özel mi ekleyeceğinize karar verin. Çoğu zaman amaç, 1'den belirli bir sayıya kadar bir tam sayı aralığını toplamak değildir, ancak sizden bir tam sayı aralığının toplamını bulmanız istenecektir. arasında iki tamsayı N.₁ ve N₂, nerede N₁ > N₂ ve her ikisi de> 1'dir. Bu toplamı bulma süreci nispeten basittir, ancak başlamadan önce, toplamın kapsayıcı mı yoksa dışlayıcı mı olduğuna karar vermemiz gerekir - başka bir deyişle, N₁ ve N₂ içerir veya sadece aradaki tamsayılar, çünkü bu durumlarda prosedür birbirinden biraz farklıdır.
2. İki sayı arasındaki tam sayıların toplamını belirlemek için N.₁ ve N₂ önce N'nin her bir değerinin toplamını ayrı ayrı belirler ve çıkarırız. Genel olarak, cevabı bulmak için daha küçük N değerinin toplamını daha büyük N değerinin toplamından çıkarmanız yeterlidir. ancakyukarıda belirtildiği gibi, bu eklemenin kapsayıcı mı yoksa dışlayıcı mı olduğunu bilmek önemlidir. Ekleme dahil etmek, N'nin değerinden 1 çıkarmanızı gerektirir.₂ denkleme girmeden önce, özel numaralandırma N değerinden 1 çıkarmanızı gerektirir.₁.
   • Diyelim kapsayıcı N. arasındaki tamsayıların toplamı₁ = 100 ve N₂ = 75. Başka bir deyişle, 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 serisinin toplamını bulmalıyız. Bunu yapmak için, 1'den N'ye tamsayıların toplamını alıyoruz.₁ve bu toplamı tam sayılardan 1'den N'ye çıkarın.₂ - 1 (kapsayıcıyı eklediğimizi unutmayın, bu nedenle N'den 1'i çıkarın.₂) ve şu şekilde çalışın:
     • (N₁(N₁ + 1)) / 2 - ((N₂-1) ((N₂-1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275. 75 ile 100 arasındaki tam sayıların kapsayıcı toplamı 2275.
   • Şimdi hadi özel saymaya başla. Denklem aynı kalır, ancak bu durumda N'den 1'i çıkarırız.₁ yerine N.₂:
     • ((N₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 - (N₂(N₂ + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 – 5700/2 =
     • 4950 - 2850 = 2100. 75 ile 100 arasındaki tam sayıların özel toplamı 2100.
3. Bu sürecin neden işe yaradığını anlayın. 1'den 100'e kadar olan tam sayıların toplamını 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 ve 1'den 75'e kadar olan tam sayıların toplamını 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75 olarak düşünün. . 75'ten 100'e kadar olan tam sayıların kapsayıcı toplamı 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 anlamına gelir. 1-75 ve 1-100'ün toplamı 75'e kadar aynıdır - bu noktada 1'in toplamı -75 'durur' ve 1-100 toplamı ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 ile devam eder. Bu nedenle, 1-75 arasındaki tamsayıların toplamını, 1-100 bize tam sayıların toplamını 75-100'den ayırma yeteneği.
   • Bununla birlikte, kapsayıcı eklersek, 75'in nihai tutara dahil edildiğinden emin olmak için 1-75 toplamı yerine 1-74 toplamını kullanmalıyız.
   • Aynı şekilde, yalnızca toplama yaparken, 100'ün toplama dahil edilmediğinden emin olmak için 1-100 toplamı yerine 1-99 toplamını kullanırız. 1-75 toplamını kullanabiliriz çünkü bu toplamı 1-99 toplamından çıkarmak 75 sayısını nihai toplamımızdan çıkarır.

İpuçları

• Sonuç her zaman bir tamsayıdır, çünkü n veya n + 1 çifttir ve bu nedenle 2'ye bölünebilir.
• Kısaca: TOPLA (1'den n'ye) = n (n + 1) / 2
• TOPLA (a - b) = TOPLA (1 - b) - TOPLA (1 - a-1).
  
  

Uyarılar

• Negatif sayılara genelleme yapmak çok zor olmasa da, bu açıklama, N'nin en az 1 olduğu tüm pozitif tam sayılarla sınırlıdır.