İçerik

• adımlar

Bir trigonometrik denklem, "x" değişkeninin (veya başka herhangi bir değişkenin) bir veya daha fazla trigonometrik fonksiyonunu içerir. Bir trigonometrik denklemi çözmek, fonksiyon(lar)ı ve denklemi bir bütün olarak karşılayan böyle bir "x" değeri bulmaktır.

• Trigonometrik denklemlerin çözümleri derece veya radyan cinsinden ifade edilir. Örnekler:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 derece; x = 37.12 derece; x = 178.37 derece.

• Not: radyan cinsinden ifade edilen açılardan ve derece cinsinden ifade edilen açılardan trigonometrik fonksiyonların değerleri eşittir. Bire eşit yarıçaplı bir trigonometrik daire, trigonometrik fonksiyonları tanımlamak ve ayrıca temel trigonometrik denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümünün doğruluğunu kontrol etmek için kullanılır.
• Trigonometrik denklem örnekleri:
  • günah x + günah 2x = 1/2; tgx + ctgx = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Yarıçapı bir olan trigonometrik daire (birim daire).
   • Yarıçapı bire eşit ve O noktasında merkeze sahip bir dairedir. Birim daire, "x" değişkeninin 4 temel trigonometrik fonksiyonunu tanımlar; burada "x", X ekseninin pozitif yönünden saat yönünün tersine ölçülen açıdır.
   • Eğer "x" birim çember üzerinde bir açıysa, o zaman:
   • Yatay eksen OAx, F (x) = cos x fonksiyonunu tanımlar.
   • Dikey eksen OBy, F (x) = sin x fonksiyonunu tanımlar.
   • Dikey eksen AT, F (x) = tan x fonksiyonunu tanımlar.
   • Yatay eksen BU, F (x) = ctg x fonksiyonunu tanımlar.

• Birim çember ayrıca temel trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için kullanılır (üzerinde "x" in farklı konumları dikkate alınır).

adımlar

1. 1 Trigonometrik denklemleri çözme kavramı.
   • Bir trigonometrik denklemi çözmek için onu bir veya daha fazla temel trigonometrik denkleme dönüştürün. Bir trigonometrik denklemi çözmek, nihayetinde dört temel trigonometrik denklemi çözmeye gelir.
2. 2 Temel trigonometrik denklemleri çözme.
   • 4 tür temel trigonometrik denklem vardır:
   • günah x = a; çünkü x = bir
   • tgx = bir; ctg x = bir
   • Temel trigonometrik denklemleri çözmek, birim çember üzerindeki farklı x konumlarına bakmayı ve bir dönüşüm tablosu (veya hesap makinesi) kullanmayı içerir.
   • Örnek 1.sin x = 0.866. Bir dönüşüm tablosu (veya hesap makinesi) kullanarak şu yanıtı alırsınız: x = π / 3. Birim çember başka bir cevap verir: 2π / 3. Unutmayın: tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir, yani değerleri tekrarlanır. Örneğin, sin x ve cos x'in periyodikliği 2πn'dir ve tg x ve ctg x'in periyodikliği πn'dir. Bu nedenle, cevap şu şekilde yazılmıştır:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Örnek 2.cos x = -1/2. Bir dönüşüm tablosu (veya hesap makinesi) kullanarak şu yanıtı alırsınız: x = 2π / 3. Birim çember başka bir cevap verir: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Örnek 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Cevap: x = π / 4 + πn.
   • Örnek 4. ctg 2x = 1.732.
   • Cevap: x = π / 12 + πn.
3. 3 Trigonometrik denklemleri çözmek için kullanılan dönüşümler.
   • Trigonometrik denklemleri dönüştürmek için cebirsel dönüşümler (çatanlara ayırma, homojen terimlerin indirgenmesi vb.) ve trigonometrik özdeşlikler kullanılır.
   • Örnek 5. Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sin x + sin 2x + sin 3x = 0 denklemi 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 denklemine dönüştürülür. aşağıdaki temel trigonometrik denklemleri çözer: cos x = 0; günah (3x / 2) = 0; çünkü (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Fonksiyonların bilinen değerlerinden açıları bulma.
   • Trigonometrik denklemleri çözme yöntemlerini öğrenmeden önce, bilinen fonksiyon değerlerinden açıları nasıl bulacağınızı öğrenmeniz gerekir. Bu, bir dönüşüm tablosu veya hesap makinesi kullanılarak yapılabilir.
   • Örnek: cos x = 0.732. Hesap makinesi x = 42.95 derece cevabını verecektir. Birim daire, kosinüsü de 0.732 olan ek açılar verecektir.
5. 5 Çözümü birim çember üzerinde bir kenara koyun.
   • Birim çember üzerindeki trigonometrik denklemin çözümlerini erteleyebilirsiniz. Birim çember üzerindeki trigonometrik denklemin çözümleri bir düzgün çokgenin köşeleridir.
   • Örnek: Birim çember üzerindeki x = π / 3 + πn / 2 çözümleri bir karenin köşeleridir.
   • Örnek: Birim çember üzerindeki x = π / 4 + πn / 3 çözümleri, düzgün bir altıgenin köşelerini temsil eder.
6. 6 Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri.
   • Belirli bir trig denklemi yalnızca bir trig işlevi içeriyorsa, bu denklemi temel trig denklemi olarak çözün.Belirli bir denklem iki veya daha fazla trigonometrik fonksiyon içeriyorsa, böyle bir denklemi çözmek için 2 yöntem vardır (dönüşümünün olasılığına bağlı olarak).
     • Yöntem 1.
   • Bu denklemi şu formun denklemine dönüştürün: f (x) * g (x) * h (x) = 0, burada f (x), g (x), h (x) temel trigonometrik denklemlerdir.
     
     
   • Örnek 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Çözüm. sin 2x = 2 * sin x * cos x çift açı formülünü kullanarak, sin 2x'i değiştirin.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Şimdi iki temel trigonometrik denklemi çözün: cos x = 0 ve (sin x + 1) = 0.
   • Örnek 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Çözüm: Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak, bu denklemi şu formun denklemine dönüştürün: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Şimdi iki temel trigonometrik denklemi çözün: cos 2x = 0 ve (2cos x + 1) = 0.
   • Örnek 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Çözüm: Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak, bu denklemi şu şekilde bir denkleme dönüştürün: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Şimdi iki temel trigonometrik denklemi çözün: cos 2x = 0 ve (2sin x + 1) = 0.
     • Yöntem 2.
   • Verilen trigonometrik denklemi, yalnızca bir trigonometrik fonksiyon içeren bir denkleme dönüştürün. Sonra bu trigonometrik fonksiyonu bazı bilinmeyenlerle değiştirin, örneğin, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, vb.).
   • Örnek 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Çözüm. Bu denklemde (cos ^ 2 x) yerine (1 - sin ^ 2 x) (özdeşliğe göre) ile değiştirin. Dönüştürülen denklem:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x'i t ile değiştirin. Denklem şimdi şöyle görünür: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Bu, iki köklü ikinci dereceden bir denklemdir: t1 = -1 ve t2 = 9/5. İkinci kök t2, işlevin değer aralığını karşılamaz (-1 sin x 1). Şimdi karar verin: t = günah x = -1; x = 3π / 2.
   • Örnek 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Çözüm. tg x'i t ile değiştirin. Orijinal denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazın: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Şimdi t'yi bulun ve ardından t = tg x için x'i bulun.
7. 7 Özel trigonometrik denklemler.
   • Belirli dönüşümler gerektiren birkaç özel trigonometrik denklem vardır. Örnekler:
   • a * günah x + b * çünkü x = c; a (günah x + cos x) + b * cos x * günah x = c;
   • a * günah ^ 2 x + b * günah x * çünkü x + c * çünkü ^ 2 x = 0
8. 8 Trigonometrik fonksiyonların periyodikliği.
   • Daha önce de belirtildiği gibi, tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir, yani değerleri belirli bir süre sonra tekrarlanır. Örnekler:
     • f (x) = sin x fonksiyonunun periyodu 2π'dir.
     • f (x) = tan x fonksiyonunun periyodu π'ye eşittir.
     • f (x) = sin 2x fonksiyonunun periyodu π'dir.
     • f (x) = cos (x / 2) fonksiyonunun periyodu 4π'dir.
   • Problemde süre belirtilmişse bu süre içerisinde "x" değerini hesaplayınız.
   • Not: Trigonometrik denklemleri çözmek kolay bir iş değildir ve çoğu zaman hatalara yol açar. Bu yüzden cevaplarınızı dikkatlice kontrol edin. Bunu yapmak için, verilen R (x) = 0 denklemini çizmek için bir grafik hesap makinesi kullanabilirsiniz. Bu gibi durumlarda, çözümler ondalık kesirler olarak sunulacaktır (yani, π, 3.14 ile değiştirilir).