İçerik

• Adım atmak
• Bölüm 1/3: Analizin temelleri
• Bölüm 2/3: Türevleri anlayın
• Bölüm 3/3: İntegralleri anlama
• İpuçları

Analiz (kalkülüs olarak da adlandırılır), limitlere, fonksiyonlara, türevlere, integrallere ve sonsuz serilere odaklanan bir matematik dalıdır. Bu konu matematiğin büyük bir kısmını kapsar ve fizikte ve mekanikte kullanılan formül ve denklemlerin çoğunun temelini oluşturur. Analizi doğru bir şekilde anlamak için muhtemelen lisede birkaç yıl matematik öğrenmiş olmanız gerekecek, ancak bu makale, temel kavramları tanımanın yanı sıra teoriyi daha iyi anlamayı öğrenmeye başlamanızı sağlayacaktır.

Adım atmak

Bölüm 1/3: Analizin temelleri

1. Analiz, şeylerin nasıl değiştiğinin incelenmesidir. Analiz, genellikle gerçek dünya verilerinden alınan sayıları ve grafikleri inceleyen ve nasıl değiştiklerini açıklayan bir matematik dalıdır. Bu ilk bakışta pek kullanışlı görünmese de analiz matematiğin en yaygın kullanılan dallarından biridir. Size işinizin herhangi bir zamanda ne kadar hızlı büyüdüğünü veya bir uzay gemisinin rotasını nasıl çizeceğinizi ve yakıtının ne kadar çabuk tükendiğini anlatacak araçlara sahip olduğunuzu hayal edin. Analiz, mühendislik, ekonomi, istatistik, kimya ve fizikte önemli bir araçtır ve birçok icat ve keşfe katkıda bulunmuştur.
2. Fonksiyonlar, iki sayı arasındaki ilişkilerdir ve ilişkileri eşlemek için kullanılır. Sayılar arasındaki ilişki kurallarıdır ve matematikçiler bunları grafik yapmak için kullanır. Bir işlevde, her girdinin tam olarak bir sonucu vardır. Örneğin: içinde ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Sonsuzluk kavramını düşünün. Sonsuzluk, bir sürecin sürekli tekrarıdır. Bu belirli bir yer değil (sonsuza gidemezsiniz), sonsuza kadar yapılırsa bir sayı veya denklemin davranışıdır. Bu, değişimi incelemek için önemlidir: herhangi bir zamanda arabanızın ne kadar hızlı hareket ettiğini bilmek isteyebilirsiniz, ancak arabanızın şu anki saniyede ne kadar hızlı hareket ettiğini bilmek isteyebilirsiniz. Milisaniye? Nanosaniye? Daha da kesin olmak için sonsuz derecede küçük zaman dilimleri bulabilirsiniz ve işte o zaman analiz devreye girer.
3. Sınırlar kavramını anlayın. Bir sınır, bir şey sonsuzluğa yaklaştığında ne olacağını söyler. 1 sayısını alın ve 2'ye bölün. 2'ye tekrar tekrar bölmeye devam edin. 1, 1/2 ve ardından 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 vb. Olur. Sayı her seferinde küçüldüğünde, sıfıra "yaklaşır". Ama nerede bitiyor? Sıfır elde etmek için 1'i 2'ye kaç kez bölmeniz gerekir? Bu soruyu yanıtlamak yerine, analizde bir limit Bu durumda sınır.
   • Sınırlar bir grafikte görselleştirilmesi en kolay olanlardır - örneğin, bir grafiğin neredeyse dokunduğu, ancak hiçbir zaman tam olarak temas etmediği noktalar var mı?
   • Sınırlar sayı, sonsuz veya hatta mevcut olmayabilir. Örneğin, 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... toplama dizisi ile ve bu sonsuza kadar devam ederse, son sayı sonsuz büyük olur. Sınır daha sonra sonsuz hale gelir.
4. Cebir, trigonometri ve matematiğin temelleri ile ilgili temel matematik kavramlarını bir daha gözden geçirin. Analiz, daha önce öğrendiğiniz matematiğin çoğuna dayanır. Tüm konular hakkında iyi bilgi sahibi olmak, analizi öğrenmeyi ve anlamayı çok daha kolay hale getirir. Fırçalanacak bazı konular şunlardır:
   • Cebir. Farklı süreçleri anlamanız ve çok değişkenli denklemleri ve denklem sistemlerini çözebilmeniz gerekir. Koleksiyonların temellerini anlayın. Grafik oluşturma alıştırması yapın.
   • Geometri. Geometri, şekillerin incelenmesidir. Üçgenler, dikdörtgenler ve daireler ile çevre ve alan gibi şeylerin nasıl hesaplanacağı konusunda temel bilgiye sahip olmalısınız. Açıları, çizgileri ve koordinatları anlayın
   • Trigonometri. Trigonometri, dairelerin ve dik üçgenlerin özellikleriyle ilgilenen matematiğin dalıdır. Trigonometrik kimlikleri, grafikleri, fonksiyonları ve ters trigonometrik fonksiyonları kullanmayı öğrenin.
5. Bir grafik hesap makinesi satın alın. Ne yaptığınızı görmeden analizi anlamak kolay değildir. Grafik hesap makineleri, hangi denklemlerle uğraştığınızı daha iyi anlayabilmeniz için fonksiyonları görsel hale getirir. Genellikle limitler ekranda görüntülenir ve türevler ve fonksiyonlar otomatik olarak hesaplanır.
   • Günümüzde birçok akıllı telefon ve tablet, bir grafik hesap makinesi istemiyorsanız veya satın alamıyorsanız, ucuz ama etkili grafik uygulamaları sunar.

Bölüm 2/3: Türevleri anlayın

1. Analiz, "belirli bir andaki değişimi" incelemek için kullanılır. Bir şeyin neden tam bir anda değiştiğini bilmek, analizin özüdür. Örneğin, analiz size sadece bir arabanın hızını değil, aynı zamanda bu hızın herhangi bir zamanda ne kadar değiştiğini de verir. Bu, analizin en basit kullanımlarından biridir, ancak çok önemlidir. Ay'a bir uzay gemisi götürmek için gereken hızı belirlemede bu tür bilgilerin ne kadar önemli olduğunu hayal edin!
   • Belirli bir zamandaki değişikliği belirlemek, ayırt etmek. Farklılaşma, analizin iki ana dalından ilkidir.
2. Belirli bir zamanda işlerin nasıl değiştiğini anlamak için türevleri kullanın. "Türev", öğrencileri genellikle tedirgin eden bir şey için güzel bir kelimedir. Ancak, kavramın kendisi anlaşılması o kadar da zor değil - sadece "bir şeyin ne kadar hızlı değiştiği" anlamına geliyor. Günlük hayatta en çok karşılaşacağınız türevler, hız ile ilgilidir. Ancak, genellikle buna "hızın türevi" değil, sadece "ivme" diyorsunuz.
   • İvme bir türevdir - size bir şeyin ne kadar hızlı hızlandığını veya yavaşladığını ya da hızının nasıl değiştiğini söyler.
3. Değişim oranının iki nokta arasındaki eğime eşit olduğunu bilin. Bu, analizin en önemli keşiflerinden biridir. İki nokta arasındaki değişim oranı, bu iki nokta arasındaki doğrunun eğimine eşittir. Denklemdeki gibi basit bir çizgi düşünün ${ displaystyle y = 3x.}$Eğri çizgilerin eğimini belirleyebileceğinizi bilin. Düz bir çizginin eğimini belirlemek nispeten kolaydır: ne kadar değişir? ${ displaystyle y}$Değişimi daha doğru hesaplamak istiyorsanız, noktaların birbirine daha yakın olduğundan emin olun. İki noktayı ne kadar yakın seçerseniz, cevabınız o kadar doğru olur. Gaza bastığınızda arabanızın ne kadar hızlandığını bilmek istediğinizi varsayalım. Eviniz ile süpermarket arasındaki hız değişimini değil, gaza bastığınız andan itibaren hızdaki değişimi ölçmek istemezsiniz. Okumanız o anıya ne kadar yaklaşırsa, değişikliği hesaplamanız o kadar doğru olur.
   • Örneğin, bilim adamları onları kurtarmak için bazı türlerin ne kadar çabuk yok olduğunu araştırıyorlar. Bununla birlikte, kışın yazın olduğundan daha fazla hayvan ölür, bu nedenle yıl boyunca değişim oranını incelemek yararlı değildir - 1 Temmuz - 1 Ağustos gibi daha küçük bir dönemde değişim oranını belirlemek daha iyidir.
4. "Anlık değişim oranını" belirlemek veya türevi bulmak için sonsuz kısa çizgiler kullanın. Bu, analizin genellikle biraz kafa karıştırıcı hale geldiği yerdir, ancak bu aslında iki basit gerçeğin sonucudur. Her şeyden önce, bir doğrunun eğiminin, o çizginin ne kadar hızlı değiştiğine eşit olduğunu bilirsiniz. İkincisi, doğrunun noktaları birbirine ne kadar yakınsa, okumanın o kadar doğru olacağını biliyorsunuz. Fakat eğim iki nokta arasındaki ilişkiyse, belirli bir noktadaki değişim oranını nasıl bulursunuz? Cevap: Birbirine sonsuz derecede yakın olan iki nokta seçersiniz.
   • 1'i 2'ye böldüğünüz ve böylece 1/2, 1/4, 1/8 vb. Elde ettiğiniz örneği düşünün. Yani sonunda sıfıra yaklaşırsınız ve cevap "neredeyse sıfırdır". Noktalar birbirine o kadar yakın ki "neredeyse birbirine eşit". Bu, türevlerin doğasıdır.
5. Çeşitli türevleri nasıl belirleyeceğinizi öğrenin. Denkleme bağlı olarak bir türev bulmak için tonlarca farklı teknik vardır, ancak yukarıdaki türevlerin temellerini ezberlediyseniz çoğu mantıklıdır. Tüm türevler, "sonsuz küçük" bir çizginin eğimini bulmanın bir yoludur. Artık türev teorisi hakkında daha fazla şey bildiğinize göre, işin çoğu cevapları bulmaktır.
6. Herhangi bir zamanda değişim oranını tahmin etmek için türetilmiş denklemleri bulun. Herhangi bir zamanda değişim oranını belirlemek için türevleri kullanmak yararlıdır, ancak analizin güzelliği, herhangi bir işlev için yeni bir model oluşturabilmenizdir. Türevi ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Bunu anlamakta zorlanıyorsanız, gerçek hayattaki türev örneklerini hatırlamaya çalışın. En basit örnek, her gün karşılaştığımız birçok farklı türevi kapsayan hıza dayanmaktadır. Unutma: türev, bir şeyin ne kadar hızlı değiştiğinin bir ölçüsüdür. Basit bir deney düşünün. Bir masanın üzerine bir bilyeyi yuvarlarsınız ve her seferinde ne kadar ileri ve ne kadar hızlı hareket ettiğini ölçersiniz. Şimdi yuvarlanan misketin bir grafik üzerinde bir çizgiyi izlediğini hayal edin - bu çizgide herhangi bir zamanda anlık değişiklikleri ölçmek için türevleri kullanıyorsunuz.
   • Bilye ne kadar hızlı hareket ediyor? Hareket eden mermerin konumu (veya türevi) hangi hızda değişir? Bu türeve "hız" diyoruz.
   • Mermeri bir yokuş boyunca yuvarlayın ve hızın nasıl değiştiğini gözlemleyin. Bilye hızının değişim oranı veya türevi nedir? Bu türev, "ivme" dediğimiz şeydir.
   • Mermeri, lunapark treni gibi dalgalı bir yol boyunca yuvarlayın. Mermer aşağı yuvarlandığında ne kadar hız kazanır ve yokuş yukarı ne kadar yavaşlar? İlk tepenin yarısına ulaştığında mermer tam olarak ne kadar hızlı gidiyor? Bu, o mermerin belirli bir noktadaki anlık değişim hızı veya türevidir.

Bölüm 3/3: İntegralleri anlama

1. Karmaşık alanları ve hacimleri bulmak için analizi kullanabileceğinizi bilin. Analizle, başka türlü ölçülmesi zor olan karmaşık şekilleri ölçebilirsiniz. Örneğin, uzun, düzensiz şekilli bir gölün ne kadar su içerdiğini bilmek istediğiniz sorunu düşünün - her litre suyu ayrı ayrı ölçmek veya gölün şeklini ölçmek için bir cetvel kullanmak imkansızdır. Analizle gölün kenarlarının nasıl değiştiğini inceleyebilir ve daha sonra bu bilgiyi ne kadar su içerdiğini bulmak için kullanabilirsiniz.
   • Geometrik modeller yapmak ve hacimlerin incelenmesi birleştirmek. Entegre analiz, analizin ikinci önemli dalıdır.
2. Entegrasyonun bir grafiğin altındaki alan olduğunu bilin. Entegrasyon, garip veya düzensiz şekillerin alanını belirlemenize olanak tanıyan bir çizginin altındaki alanı ölçmek için kullanılır. Denklemi al ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Entegre edilecek bir alan seçmeniz gerektiğini bilin. Tüm bir işlevi basitçe entegre edemezsiniz. Örneğin, ${ displaystyle y = x}$Bir dikdörtgenin alanını nasıl hesaplayacağınızı düşünün. Örneğin, bir grafiğin üzerinde düz bir çizginiz olduğunu varsayalım. ${ displaystyle y = 4.}$İntegral analizde, bir alanın alanını bulmak için çok sayıda küçük dikdörtgenin toplandığını bilin. Bir eğriyi büyük ölçüde büyüttüğünüzde, düz bir çizgi gibi görünür. Bunu her gün görüyorsunuz - dünyanın eğriliğini algılayamazsınız çünkü dünyanın yüzeyine çok yakınsınız. Entegrasyon, bir eğrinin altında, temelde düz oldukları için çok küçük olan sonsuz sayıda küçük dikdörtgenler oluşturur ve bunları saymanıza olanak tanır. Bir araya getirilen tüm bu dikdörtgenler, bir eğrinin altındaki alanın alanını oluşturur.
   • Grafiğin altına çok sayıda küçük segment eklediğinizi ve bu, her bir segmentin genişliğidir. neredeyse sıfırdır.
3. İntegralleri nasıl doğru okuyup yazacağınızı bilin. İntegraller 4 kısımdan oluşur. Tipik bir integral şuna benzer:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ İntegral bulma hakkında daha fazla bilgi edinin. Entegrasyon birçok şekilde gelir ve her işlevi entegre etmek için birçok farklı formül öğrenmeniz gerekir. Bununla birlikte, hepsi yukarıda özetlenen ilkeleri izler: Entegrasyon, sonsuz sayıda şeyin toplamıdır.
   • İkame ile entegre edin.
   • Belirsiz integralleri hesaplayın.
   • Paylaşarak entegre edin.
4. Entegrasyonun farklılaşmanın tersi olduğunu ve bunun tersi olduğunu bilin. Bu, kendisine kendi adı verilmiş olması için çok önemli olan temel bir analiz kuralıdır: İntegral Hesaplamanın Temel Teoremi.Entegrasyon ve farklılaşma çok yakından ilişkili olduğundan, sahip olduğunuz bilgiye bakılmaksızın değişim oranını, ivmeyi, hızı, konumu, hareketi vb. Belirlemek için ikisinin bir kombinasyonu kullanılabilir.
   • Örneğin, hızın türevinin ivme olduğunu unutmayın, böylece ivmeyi bulmak için hızı kullanabilirsiniz. Ancak yalnızca bir şeyin ivmesini biliyorsanız (yerçekiminden dolayı düşen nesneler gibi), o zaman tekrar hız kazanmak için entegre olabilirsiniz!
5. Entegrasyonla 3B nesnelerin hacmini de kontrol edebileceğinizi bilin. Düz bir şekli döndürmek, 3B katılar oluşturmanın bir yoludur. Masanın üzerinde dönen bir madeni para hayal edin - madeni paranın dönerken bir küre şeklini alıyor gibi göründüğüne dikkat edin. Bu kavram, hacmi "dönüşle hacim" olarak bilinen bir işleme göre belirlemenize olanak tanır.
   • Bu, onu temsil eden bir işleve sahip olduğunuz sürece herhangi bir katının hacmini belirlemenizi sağlar. Örneğin, bir gölün dibini izleyen bir işlev oluşturabilir ve ardından bunu gölün hacmini veya ne kadar su içerdiğini belirlemek için kullanabilirsiniz.

İpuçları

• Alıştırma mükemmelleştirir, ders kitabınızdaki alıştırma alıştırmaları da yapın - öğretmeninizin vermediği şeyler bile - ve kavramları daha iyi anlamanıza yardımcı olmak için cevaplarınızı kontrol edin.
• Bir çözüm bulamazsanız öğretmeninize sorun.