İçerik

• adımlar
• İpuçları

Rasyonel fonksiyon, N ve D'nin polinom olduğu y = N (x) / D (x) formuna sahiptir. Böyle bir fonksiyonu doğru bir şekilde çizmek için, diferansiyel hesaplamalar da dahil olmak üzere iyi bir cebir bilgisine ihtiyacınız vardır. Aşağıdaki örneği göz önünde bulundurun: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

adımlar

1. 1 Grafiğin y-kesişimini bulun. Bunu yapmak için, fonksiyona x = 0 koyun ve y = 5/2 olsun. Böylece grafiğin Y ekseni ile kesiştiği nokta (0, 5/2) koordinatlarına sahiptir.Bu noktayı koordinat düzlemine yerleştirin.
2. 2 Yatay asimptotları bulun. Sonsuzluğa eğilimli "x" değerleriyle "y" nin davranışını belirlemek için payı paydaya (bir sütunda) bölün. Örneğimizde, bölme y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). "x" 17 / (8'in büyük pozitif veya negatif değerleri içinx + 4) sıfır olma eğilimindedir ve grafik, fonksiyon tarafından verilen düz çizgiye yaklaşır y = (1/2)x - (7/4). Noktalı çizgiyi kullanarak bu işlevi çizin.
   • Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, payı paydaya bölemezsiniz ve asimptot fonksiyon tarafından açıklanacaktır. NS = 0.
   • Payın derecesi paydanın derecesine eşitse, asimptot, en yüksek derecede "x" deki katsayıların oranına eşit olan yatay bir çizgidir.
   • Payın derecesi, paydanın derecesinden 1 fazlaysa, asimptot, eğimi "x" deki katsayıların en yüksek dereceye oranına eşit olan eğimli bir düz çizgidir.
   • Payın derecesi, paydanın derecesinden 2, 3 vb. büyükse, büyük değerler için |NS| anlam NS bir kare, kübik veya başka bir polinom derecesi şeklinde sonsuzluğa (pozitif veya negatif) eğilimlidir. Bu durumda, büyük olasılıkla, payın paydaya bölünmesiyle elde edilen fonksiyonun tam bir grafiğini oluşturmanız gerekmez.
3. 3 Fonksiyonun sıfırlarını bulun. Rasyonel bir fonksiyonun payı sıfır olduğunda, yani N (NS) = 0. Örneğimizde 2x - 6x + 5 = 0. Bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı: B - 4AC = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Diskriminant negatif olduğundan, N (NS) ve dolayısıyla F (NS) gerçek kökleri yoktur. Rasyonel bir fonksiyonun grafiği X eksenini kesmez Fonksiyonun sıfırları (kökleri) varsa, bunları koordinat düzlemine koyun.
4. 4 Dikey asimptotları bulun. Bunu yapmak için paydayı sıfıra ayarlayın. Örneğimizde, 4x + 2 = 0 ve NS = -1/2. Noktalı çizgiyi kullanarak dikey asimptotu çizin. Eğer bir değer için NS N (NS) = 0 ve D (NS) = 0, o zaman dikey asimptot var veya yok (bu nadir bir durumdur, ancak hatırlamak daha iyidir).
5. 5 Payın paydaya bölümünden kalanına bakın. Olumlu mu, olumsuz mu, sıfır mı? Örneğimizde kalan, pozitif olan 17'dir. payda 4x Dikey asimptotun sağında + 2 pozitif ve solunda negatif. Bu, büyük pozitif değerler için rasyonel fonksiyonun grafiğinin NS asimptota yukarıdan yaklaşır ve büyük negatif değerler için NS - aşağıdan. 17 / (8'den berix + 4) hiçbir zaman sıfıra eşit değildir, bu durumda bu fonksiyonun grafiği, fonksiyon tarafından belirtilen düz çizgiyle asla kesişmeyecektir. NS = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Yerel ekstremumu bulun. N '( için yerel bir ekstremum varx) NS (x) - N (x) NS '(x) = 0. Örneğimizde N '(x) = 4x - 6 ve D '(x) = 4. N '(x) NS (x) - N (x) NS '(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. Bu denklemi çözerek şunu bulursunuz: x = 3/2 ve x = -5/2. (Bunlar tamamen doğru değerler değildir, ancak süper hassaslığa gerek olmadığında bizim durumumuz için uygundurlar.)
7. 7 değeri bul NS Her yerel ekstremum için. Bunu yapmak için değerleri değiştirin NS orijinal rasyonel fonksiyona dönüştürülür. Örneğimizde f (3/2) = 1/16 ve f (-5/2) = -65/16. Koordinat düzleminde (3/2, 1/16) ve (-5/2, -65/16) noktalarını ayırın. Hesaplamalar yaklaşık değerlere dayandığından (önceki adımdan), bulunan minimum ve maksimum da tam olarak doğru değildir (ancak muhtemelen kesin değerlere çok yakındır). (3/2, 1/16 noktası yerel minimuma çok yakındır. 3. adımdan başlayarak biliyoruz ki NS için her zaman olumlu NS> -1/2 ve küçük bir değer bulduk (1/16); bu nedenle, bu durumda hata değeri son derece küçüktür.)
8. 8 Bekleyen noktaları bağlayın ve grafiği asimptotlara düzgün bir şekilde uzatın (asimptotlara yaklaşan grafiğin doğru yönünü unutmayın). Grafiğin X eksenini geçmemesi gerektiğini unutmayın (3. adıma bakın). Grafik ayrıca yatay ve dikey asimptotlarla kesişmez (bkz. adım 5). Bir önceki adımda bulunan uç noktalar dışında grafiğin yönünü değiştirmeyin.

İpuçları

• Yukarıdaki adımları kesinlikle sırayla izlediyseniz, çözümünüzü test etmek için ikinci türevleri (veya benzer karmaşık miktarları) hesaplamanıza gerek yoktur.
• Miktarların değerlerini hesaplamanız gerekmiyorsa, bazı ek koordinat çiftlerini hesaplayarak yerel ekstremi bulmayı değiştirebilirsiniz (NS, NS) her bir asimptot çifti arasında. Ayrıca, açıklanan yöntemin nasıl çalıştığını umursamıyorsanız, neden türevi bulamadığınıza ve N '( denklemini çözemediğinize şaşırmayın.x) NS (x) - N (x) NS '(x) = 0.
• Bazı durumlarda, daha yüksek dereceli polinomlarla çalışmanız gerekecektir. Çarpanlara ayırma, formüller vb. kullanarak tam çözümü bulamıyorsanız, Newton yöntemi gibi sayısal yöntemleri kullanarak olası çözümleri tahmin edin.
• Nadir durumlarda, pay ve payda ortak bir değişken faktörü paylaşır. Açıklanan adımlara göre, bu aynı yerde sıfıra ve dikey bir asimptota yol açacaktır. Ancak bu mümkün değildir ve açıklama aşağıdakilerden biridir:
  • N'de sıfır (NS) D'de sıfırdan daha yüksek bir çokluğa sahiptir (NS). Grafik F (NS) bu noktada sıfır olma eğilimindedir, ancak orada tanımlanmamıştır. Bunu noktanın etrafına bir daire çizerek belirtin.
  • N'de sıfır (NS) ve D'de sıfır (NS) aynı çokluğa sahiptir. Grafik bu değerde sıfır olmayan bir noktaya yaklaşıyor NSancak orada tanımlanmamıştır. Bunu noktanın etrafına bir daire çizerek belirtin.
  • N'de sıfır (NS) D'de sıfırdan daha düşük bir çokluğa sahiptir (NS). Burada dikey bir asimptot var.