İçerik

• Adımlar
• Tavsiye

Bir matematikçi veya grafik programcısıysanız, muhtemelen verilen iki vektör arasındaki açıyı bulmanız gerekecektir. Bu makalede, wikiHow size bunu nasıl yapacağınızı gösteriyor.

Adımlar

Bölüm 1/2: İki vektör arasındaki açıyı bulun

1. 

   Vektör tanımı. Sahip olduğunuz iki vektör hakkındaki tüm bilgileri not edin. Yalnızca boyutsal koordinatlarının (bileşenler olarak da adlandırılır) belirtilen parametrelerine sahip olduğunuzu varsayalım. Bir vektörün uzunluğunu (büyüklüğünü) zaten biliyorsanız, aşağıdaki adımlardan bazılarını atlayabilirsiniz.
   • Örnek: İki boyutlu vektör = (2,2) ve iki boyutlu vektör = (0,3). = 2 olarak da yazılabilirlerben + 2j ve = 0ben + 3j = 3j.
   • Bu makaledeki örnekte iki boyutlu vektörler kullanılmasına rağmen, aşağıdaki talimatlar herhangi bir sayıda boyuta sahip vektörler için geçerli olabilir.

2. 

   
   
   Kosinüs formülünü yazın. İki vektör arasındaki θ açısını bulmak için, o açı için kosinüsü bulma formülüyle başlıyoruz. Bu formül hakkında aşağıda bilgi edinebilir veya şöyle yazabilirsiniz:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| "vektörün uzunluğu" anlamına gelir.
   • • iki vektörün skaler çarpımıdır - bu aşağıda açıklanacaktır.

3. 

   
   
   Her vektörün uzunluğunu hesaplayın. Vektörün x, y bileşenlerinden ve vektörün kendisinden oluşan bir dik üçgenin olduğunu hayal edin. Vektör, üçgenin hipotenüsünü oluşturur, bu nedenle uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanıyoruz. Aslında, bu formül kolaylıkla herhangi bir sayıda boyuttaki bir vektöre genişletilebilir.
   • || u || = u₁ + u₂. Bir vektörün ikiden fazla öğesi varsa, + u eklemeye devam etmeniz yeterlidir.₃ + u₄ +...
   • Dolayısıyla, iki boyutlu bir vektör için, || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Bu örnekte, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   İki vektörün skaler çarpımını hesaplayın. Belki de vektör çarpma yöntemini öğrenmişsinizdir. skaler bu. Bileşimlerine göre skaler çarpımı hesaplamak için, bileşenleri her yönde çarpın, ardından tüm sonucu toplayın.
   • Grafik programı için, daha fazla okumadan önce lütfen İpuçları kısmına bakın.
   • Matematikte • = u₁v₁ + u₂v₂, nerede, u = (u₁sen₂). Vektörün ikiden fazla öğesi varsa, + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Bu örnekte, • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Bu, vektörün ve vektörün skaler çarpımıdır.

5. 

   Elde edilen sonuçları formüle koyun. Cosθ = (•) / (|||| || ||) olduğunu unutmayın. Şimdi hem skaler çarpımı hem de her vektörün uzunluğunu biliyoruz. Açının kosinüsünü hesaplamak için bunları formüle girin.
   • Örneğimizde, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Açıyı kosinüsüne göre bulun. Bilinen bir cos değerinden θ bulmak için hesap makinesinde arccos veya cos işlevini kullanabilirsiniz. Bazı sonuçlarla, açıyı birim çembere göre bulabilirsiniz.
   • Örnekte, cosθ = √2 / 2. Açıyı bulmak için hesap makinenize "arccos (√2 ​​/ 2)" girin. Ya da birim çember üzerinde cosθ = √2 / 2 konumunda θ açısını bulabilirsiniz. θ = /₄ veya 45º.
   • Her şeyi birleştiren son formül: açı θ = arkkosin ((•) / (|||| ||))
   İlan

Bölüm 2/2: Açı formülünün belirlenmesi

1. 

   Formülün amacını anlayın. Bu formül, mevcut kurallardan türetilmedi. Bunun yerine, skaler ürünün tanımı ve iki vektör arasındaki açı olarak oluşturulur. Öyle olsa bile, keyfi bir karar değildi. Temel geometriye geri dönersek, bu formülün neden sezgisel ve kullanışlı tanımlar sağladığını anlayabiliriz.
   • Aşağıdaki örnekler, anlaşılması en kolay ve en basit oldukları için iki boyutlu vektörleri kullanır. Üç boyutlu veya daha fazla vektör, neredeyse benzer genel formüllerle tanımlanan özelliklere sahiptir.

2. 

   Cosine teoremini gözden geçirin. A ve b kenarları, c karşı kenarı arasında θ açısına sahip sıradan bir üçgen düşünün. Kosinüs Teoremi c = a + b -2ab olduğunu belirtirçünkü(θ). Bu sonuç oldukça basit bir şekilde temel geometriden çıkarılmıştır.

3. 

   Bir üçgen oluşturan iki vektörü birleştirin. Kağıt, vektörler ve vektörler üzerine, aralarındaki açı θ olacak şekilde bir çift iki boyutlu vektör çizin. Üçgen oluşturmak için bu ikisi arasına üçüncü bir vektör çizin. Başka bir deyişle, + = olacak şekilde bir vektör çizin. Vektör = -.

4. 

   Bu üçgen için Kosinüs teoremini yazın. "Vektör üçgenimizin" kenar uzunluğunu Kosinüs teoremine koyun:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || bir || || b ||çünkü(θ)

5. 

   Skaler çarpım ile yeniden yazın. Unutmayın, skaler çarpım, bir vektörün diğer yandaki görüntüsüdür. Bir vektörün kendi başına skaler çarpımı hiçbir izdüşüm gerektirmez, çünkü burada yön farkı yoktur. Bu, • = || a || anlamına gelir. Bunu kullanarak denklemi yeniden yazıyoruz:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||çünkü(θ)

6. 

   Aynı formülü başarıyla yeniden yazdı. Formülün sol tarafını genişletin, ardından açıları bulmak için kullanılan formülü elde etmek için basitleştirin.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||çünkü(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||çünkü(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||çünkü(θ)
   • • = || a || || b ||çünkü(θ)
   İlan

Tavsiye

• Değerleri değiştirmek ve sorunu hızlı bir şekilde çözmek için, herhangi bir iki boyutlu vektör çifti için şu formülü kullanın: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Bilgisayar grafik yazılımıyla çalışıyorsanız, büyük olasılıkla vektörlerin uzunluklarına değil boyutlarına dikkat etmeniz gerekecek. Bir denklemi kısaltmak ve programınızı hızlandırmak için aşağıdaki adımları kullanın:
  • Her vektörü 1'e eşit olacak şekilde normalleştirin. Bunu yapmak için, vektörün her bileşenini uzunluğuna bölün.
  • Orijinal vektör yerine skalerin normalleştirilmiş çarpımını alın.
  • Uzunluk 1 olduğu için uzunluk elemanlarını denklemden çıkarabiliriz. Son olarak, elde edilen açı denklemi arccos (•) 'dur.
• Kosinüs formülüne dayanarak, açının keskin mi yoksa geniş mi olduğunu hızlıca belirleyebiliriz. Cosθ = (•) / (|||| ||||) ile başlayın:
  • Denklemin sol ve sağ tarafları aynı işarete sahip olmalıdır (pozitif veya negatif).
  • Uzunluk her zaman pozitif olduğundan, cosθ skaler çarpımla aynı işarete sahip olmalıdır.
  • Bu nedenle, ürün pozitifse, cosθ de pozitiftir. Birim çemberin θ <π / 2 veya 90º ile birinci çeyreğindeyiz. Bulunacak açı keskin açıdır.
  • Skaler çarpım negatifse, cosθ negatiftir. Birim çemberin ikinci çeyreğindeyiz, π / 2 <θ ≤ π veya 90º <θ ≤ 180º. Bu hapishane köşesi.