İçerik

• Adım atmak

Trigonometrik denklem, değişken trigonometrik eğri x'in bir veya daha fazla trigonometrik fonksiyonuna sahip bir denklemdir. X'i çözmek, trigonometrik fonksiyonları trigonometrik denklemin doğru olmasına neden olan trigonometrik eğrilerin değerlerini bulmak anlamına gelir.

• Çözüm eğrilerinin yanıtları veya değerleri derece veya radyan cinsinden ifade edilir. Örnekler:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 derece; x = 37.12 derece; x = 178.37 derece

• Not: Birim çemberde, herhangi bir eğrinin trigonometrik fonksiyonları, karşılık gelen açının trigonometrik fonksiyonlarına eşittir. Birim çember, x değişken eğrisinin tüm trigonometrik fonksiyonlarını tanımlar. Aynı zamanda temel trigonometrik denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümünde kanıt olarak kullanılır.
• Trigonometrik denklem örnekleri:
  • günah x + günah 2x = 1/2; tan x + bebek karyolası x = 1,732;
  • çünkü 3x + günah 2x = çünkü x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Birim çember.
   • Bu, Yarıçap = 1 olan bir çemberdir, burada O başlangıç ​​noktasıdır. Birim çember, onu saat yönünün tersine çevreleyen değişken eğri x'in 4 ana trigonometrik fonksiyonunu tanımlar.
   • X değerine sahip eğri birim çemberde değiştiğinde, o zaman şunları tutar:
   • Yatay eksen OAx, trigonometrik f (x) = cos x fonksiyonunu tanımlar.
   • Dikey eksen OBy, trigonometrik f (x) = sin x fonksiyonunu tanımlar.
   • Dikey eksen AT, trigonometrik f (x) = tan x fonksiyonunu tanımlar.
   • Yatay eksen BU, trigonometrik f (x) = cot x fonksiyonunu tanımlar.

• Birim çember, aynı zamanda, çember üzerindeki x eğrisinin çeşitli konumlarını dikkate alarak temel trigonometrik denklemleri ve standart trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için de kullanılır.

Adım atmak

1. Çözüm yöntemini anlayın.
   • Trigonometrik bir denklemi çözmek için, onu bir veya daha fazla temel trigonometrik denkleme dönüştürürsünüz. Trigonometrik denklemlerin çözülmesi, sonuçta 4 temel trigonometrik denklemin çözülmesiyle sonuçlanır.
2. Temel trigonometrik denklemlerin nasıl çözüleceğini bilir.
   • 4 temel trigonometrik denklem vardır:
   • sin x = a; çünkü x = a
   • tan x = a; bebek karyolası x = a
   • Trigonometrik daire üzerindeki x eğrisinin çeşitli konumlarını inceleyerek ve bir trigonometrik dönüşüm tablosu (veya hesap makinesi) kullanarak temel trigonometrik denklemleri çözebilirsiniz. Bu ve benzer temel trigonometrik denklemlerin nasıl çözüleceğini tam olarak anlamak için şu kitabı okuyun: "Trigonometri: Trigonometrik Denklemleri ve Eşitsizlikleri Çözme" (Amazon E-book 2010).
   • Örnek 1. sin x = 0.866 için çözün. Dönüşüm tablosu (veya hesap makinesi) cevabı verir: x = Pi / 3. Trigonometrik daire, sinüs (0.866) için aynı değere sahip başka bir eğri (2Pi / 3) verir. Trigonometrik daire ayrıca genişletilmiş yanıtlar adı verilen sonsuz sayıda yanıt sağlar.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi ve x2 = 2Pi / 3. (Bir dönem içinde yanıtlar (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi ve x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Ayrıntılı cevaplar).
   • Örnek 2. Cos x = -1/2 çözün. Hesap makineleri x = 2 Pi / 3 verir. Trigonometrik daire ayrıca x = -2Pi / 3 verir.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi ve x2 = - 2Pi / 3. (Dönemin yanıtları (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi ve x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Genişletilmiş Cevaplar)
   • Örnek 3. tan (x - Pi / 4) = 0'ı çözün.
   • x = Pi / 4; (Cevap)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Genişletilmiş cevap)
   • Örnek 4. Çöz: cot 2x = 1.732. Hesap makineleri ve trigonometrik daire şunları verir:
   • x = Pi / 12; (Cevap)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Genişletilmiş Cevaplar)
3. Trigonometrik denklemlerin çözümünde kullanılan dönüşümleri öğrenin.
   • Verilen bir trigonometrik denklemi standart trigonometrik denklemlere dönüştürmek için, standart cebirsel dönüşümleri (çarpanlara ayırma, ortak faktör, polinomlar ...), trigonometrik fonksiyonların tanımlarını ve özelliklerini ve trigonometrik özdeşlikleri kullanın. Trigonometrik denklemlerin dönüştürülmesinde kullanıldıkları için dönüşüm kimlikleri olarak da adlandırılan, 19'dan 31'e kadar, trigonometrik kimlikler olan yaklaşık 31, 14'ü vardır. Yukarıdaki kitaba bakın.
   • Örnek 5: Trigonometrik denklem: sin x + sin 2x + sin 3x = 0, trigonometrik kimlikler kullanılarak temel trigonometrik denklemlerin bir ürününe dönüştürülebilir: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Çözülecek temel trigonometrik denklemler şunlardır: cos x = 0; günah (3x / 2) = 0; ve cos (x / 2) = 0.
4. Trigonometrik fonksiyonların bilindiği eğrileri bulun.
   • Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi öğrenmeden önce, trigonometrik fonksiyonların bilindiği eğrileri nasıl hızlı bir şekilde bulacağınızı bilmeniz gerekir. Eğrilerin (veya açıların) dönüşüm değerleri trigonometrik tablolar veya hesap makinesi ile belirlenebilir.
   • Örnek: cos x = 0.732'yi çözün. Hesaplayıcı, çözümü x = 42.95 derece verir. Birim çember, kosinüs için aynı değere sahip diğer eğrileri verir.
5. Cevabın yayını birim çember üzerine çizin.
   • Çözümü birim çember üzerinde göstermek için bir grafik oluşturabilirsiniz. Bu eğrilerin uç noktaları, trigonometrik daire üzerindeki düzenli çokgenlerdir. Bazı örnekler:
   • X = Pi / 3 + k eğrisinin uç noktaları Pi / 2, birim çember üzerindeki bir karedir.
   • X = Pi / 4 + k.Pi / 3 eğrileri, birim çember üzerindeki bir altıgenin koordinatları ile temsil edilir.
6. Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi öğrenin.
   • Verilen trigonometrik denklem yalnızca bir trigonometrik fonksiyon içeriyorsa, bunu standart bir trigonometrik denklem olarak çözün. Verilen denklem iki veya daha fazla trigonometrik fonksiyon içeriyorsa, denklemi dönüştürme seçeneklerine bağlı olarak 2 çözüm yöntemi vardır.
     • A. Yöntem 1.
   • Trigonometrik denklemi şu formdaki bir ürüne dönüştürün: f (x) .g (x) = 0 veya f (x) .g (x) .h (x) = 0, burada f (x), g (x) ve h (x) temel trigonometrik denklemlerdir.
   • Örnek 6. Çözün: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Çözüm. Denklemdeki sin 2x'i şu özdeşliği kullanarak değiştirin: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Ardından 2 standart trigonometrik işlevi çözün: cos x = 0 ve (sin x + 1) = 0.
   • Örnek 7. Çözüm: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Çözüm: Trigonometrik kimlikleri kullanarak bunu bir ürüne dönüştürün: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Şimdi 2 temel trigonometrik denklemi çözün: cos 2x = 0 ve (2cos x + 1) = 0.
   • Örnek 8. Çözüm: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Çözüm: Trigonometrik kimlikleri kullanarak bunu bir ürüne dönüştürün: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Şimdi 2 temel trigonometrik denklemi çözün: cos 2x = 0 ve (2sin x + 1) = 0.
     • B. Yaklaşım 2.
   • Trig denklemini, değişken olarak yalnızca bir benzersiz trigonometrik fonksiyona sahip bir trigonometrik denklemine dönüştürür. Uygun bir değişkenin nasıl seçileceğine dair bazı ipuçları var. Ortak değişkenler şunlardır: sin x = t; çünkü x = t; cos 2x = t, tan x = t ve tan (x / 2) = t.
   • Örnek 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi) 'yi çözün.
   • Çözüm. Denklemde, (cos ^ 2x) yerine (1 - sin ^ 2x) yazın ve denklemi sadeleştirin:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Şimdi sin x = t kullanın. Denklem şöyle olur: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Bu, 2 köklü ikinci dereceden bir denklemdir: t1 = -1 ve t2 = 9/5. İkinci t2'yi reddedebiliriz, çünkü> 1. Şimdi şunu çözün: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Örnek 10. Tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2'yi çözün.
   • Çözüm. Tan x = t kullanın. Verilen denklemi değişken olarak t olan bir denkleme dönüştürün: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Bu üründen t'yi çözün, ardından x için standart trigonometrik denklem tan x = t'yi çözün.
7. Özel trigonometrik denklemleri çözün.
   • Bazı özel dönüşümler gerektiren birkaç özel trigonometrik denklem vardır. Örnekler:
   • a * günah x + b * cos x = c; a (günah x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * günah ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Trigonometrik fonksiyonların periyodik özelliklerini öğrenin.
   • Tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir, yani bir dönem boyunca bir rotasyondan sonra aynı değere geri dönerler. Örnekler:
     • F (x) = sin x fonksiyonu, periyot olarak 2Pi'ye sahiptir.
     • F (x) = tan x fonksiyonu, periyot olarak Pi'ye sahiptir.
     • F (x) = sin 2x fonksiyonunda periyot olarak Pi vardır.
     • F (x) = cos (x / 2) fonksiyonu periyot olarak 4Pi'ye sahiptir.
   • Süre egzersizlerde / testte belirtilmişse, bu süre içinde x eğrisini / eğrilerini bulmanız yeterlidir.
   • NOT: Trigonometrik denklemleri çözmek zordur ve genellikle hatalara ve hatalara yol açar. Bu nedenle cevaplar dikkatlice kontrol edilmelidir. Çözdükten sonra, verilen trigonometrik denklem R (x) = 0'ın doğrudan temsili için bir grafik hesap makinesi kullanarak cevapları kontrol edebilirsiniz. Cevaplar (karekök olarak) ondalık basamaklarda verilmiştir. Örnek olarak, Pi'nin değeri 3,14'tür.