İçerik

• Adım atmak
• Yöntem 1/3: İlk basit görev
• Yöntem 2/3: Belirli bir sonuç için beklenen değeri hesaplama
• Yöntem 3/3: Kavramı anlayın
• İpuçları
• Gereklilikler

Beklenti değeri, istatistiksel bir terimdir ve bir eylemin ne kadar yararlı veya zararlı olacağına karar vermek için kullanılan bir kavramdır. Beklenen değeri hesaplamak için, belirli bir durumdaki her bir sonucun ve ilgili olasılığın veya belirli bir sonucun ortaya çıkma olasılığının iyi bir şekilde anlaşılması gerekir. Aşağıdaki adımlar, beklenti değeri kavramını anlamanıza yardımcı olacak bazı örnek alıştırmalar sağlar.

Adım atmak

Yöntem 1/3: İlk basit görev

1. Açıklamayı okuyun. Tüm olası sonuçları ve olasılıkları düşünmeye başlamadan önce, sorunu anlamanız önemlidir. Örneğin oyun başına 10 € olan bir zar oyunu. Altıgen bir kalıp bir kez yuvarlanır ve kazancınız attığınız sayıya bağlıdır. Bir 6 atılırsa, 30 € kazanırsınız; 5, 20 € kazanır; başka herhangi bir sayı hiçbir şey vermez.
2. Olası tüm sonuçları listeleyin. Belirli bir durumda tüm olası sonuçları listelemeye yardımcı olur. Yukarıdaki örnekte 6 olası sonuç vardır. Bunlar: (1) 1 attığınızda 10 $ kaybedersiniz, (2) 2 atarsınız ve 10 $ kaybedersiniz, (3) 3 atarsınız ve 10 $ kaybedersiniz, (4) 4 atarsınız ve 10 $ kaybedersiniz , (5) 5 at ve 10 $ kazan, (6) 6 at ve 20 $ kazan.
   • Sonuçtan bağımsız olarak önce oyun başına 10 € ödemeniz gerekeceğinden, her bir sonucun yukarıda açıklanandan 10 € daha az olduğunu unutmayın.
3. Her sonucun olasılığını belirleyin. Bu durumda, herhangi 6 sonucun olasılığı aynıdır. Rastgele bir sayının yuvarlanma olasılığı 6'da 1'dir. Bunu yazmayı kolaylaştırmak için kesiri (1/6) bir hesap makinesi kullanarak ondalık sayı olarak yazacağız: 0,167. Bu olasılığı her sonucun yanına yazın, özellikle de her sonuç için farklı olasılıklara sahip bir problemi çözmek istiyorsanız.
   • 1/6 hesap makineniz 0.166667 gibi bir şey yapabilir. Doğruluktan ödün vermeden hesaplamayı kolaylaştırmak için bunu 0,167'ye yuvarlıyoruz.
   • Çok doğru bir sonuç istiyorsanız, onu ondalık sayı yapmayın, formüle 1/6 girin ve hesap makinenizde hesaplayın.
4. Her sonucun değerini kaydedin. Bir sonucun $ değerini, sonucun beklenen değere ne kadar para katkıda bulunacağını hesaplamak için ortaya çıkma olasılığı ile çarpın. Örneğin, 1'in yuvarlanmasının sonucu -10 $ ve 1'in yuvarlanma olasılığı 0.167'dir. Dolayısıyla, 1 atmanın değeri (-10) * (0.167) 'dir.
   • Aynı anda birden fazla işlemi gerçekleştirebilen bir hesap makineniz varsa, bu sonuçları şimdi hesaplamanıza gerek yoktur. Denklemin tamamını girerseniz daha doğru bir sonuç alırsınız.
5. Bir olayın beklenen değerini elde etmek için her sonucun değerini ekleyin. Yukarıdaki örnekle devam edersek, zar oyununun beklenti değeri: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167) veya - 1,67 €. Yani bu oyunda her seferinde (oyun başına) 1,67 $ kaybetmeyi bekleyebilirsiniz.
6. Beklenen değeri hesaplamanın sonuçları nelerdir? Yukarıdaki örnekte, beklenen kârın (zararın) atış başına - 1,67 € olacağını belirledik. Bu, 1 oyun için imkansız bir sonuçtur; 10 € kaybedebilir, 10 € kazanabilir veya 20 € kazanabilirsiniz. Ancak uzun vadede beklenen değer yararlı, ortalama bir olasılıktır. Bu oyunu oynamaya devam ederseniz, ortalama olarak oyun başına yaklaşık 1,67 $ kaybedersiniz. Beklenen değer hakkında düşünmenin başka bir yolu da oyuna belirli maliyetler (veya faydalar) atamaktır; Bu oyunu sadece buna değdiğini düşünüyorsanız oynamalısınız, her seferinde 1,67 $ harcayacak kadar keyfini çıkarın.
   • Bir durum ne kadar sık ​​tekrarlanırsa, beklenen değer o kadar doğru bir şekilde gerçek ortalama sonucun bir temsilidir. Örneğin, oyunu arka arkaya 5 kez oynuyorsunuz ve her seferinde kaybediyorsunuz, bu da ortalama 10 $ zararla sonuçlanıyor. Bununla birlikte, oyunu 1000 kez daha oynarsanız, ortalama sonuç beklenen değer olan - oyun başına 1,67 € 'ya yaklaşır ve yaklaşır. Bu ilkeye "büyük sayılar yasası" denir.

Yöntem 2/3: Belirli bir sonuç için beklenen değeri hesaplama

1. Belirli bir desen oluşmadan önce çevirmeniz gereken ortalama jeton sayısını hesaplamak için bu yöntemi kullanın. Örneğin, arka arkaya iki tura çıkana kadar çevrilecek beklenen jeton sayısını bulmak için yöntemi kullanabilirsiniz. Bu sorun, beklenti değerleriyle ilgili standart bir sorundan biraz daha zordur, bu nedenle, beklenti değeri kavramına aşina değilseniz, önce bu makalenin yukarıdaki bölümünü okuyun.
2. Bir x değeri aradığımızı varsayalım. Arka arkaya iki tura çıkarmak için ortalama kaç jeton çevirmeniz gerektiğini belirlemeye çalışıyorsunuz. Şimdi cevabı bulmak için bir karşılaştırma yapıyoruz. Aradığımız cevaba x diyoruz. Gerekli karşılaştırmayı adım adım yapıyoruz. Şu anda aşağıdakilere sahibiz:
   • x = ___
3. İlk çevirme bir yazı tura çıkarsa ne olacağını düşünün. Vakaların yarısında durum böyle olacaktır. Bu durumda, bir turda iki kez kafa yuvarlama şansı değişmemişken, bir dönüşü "boşa harcamışsınızdır". Yazı tura atmada olduğu gibi, arka arkaya iki kez kafa atmadan önce ortalama bir kez atmanız gerekir. Başka bir deyişle, x kez ve daha önce oynadıklarınızı atmayı beklersiniz. Denklem biçiminde:
   • x = (0,5) (x + 1) + ___
   • Diğer durumlar hakkında düşünmeye devam ederken boş alanı dolduracağız.
   • Daha kolay veya gerekliyse, ondalık sayılar yerine kesirleri kullanabilirsiniz.
4. Başınızı fırlattığınızda ne olacağını düşünün. İlk seferinde bir kupa atmanız için 0,5 (veya 1/2) şansınız var. Bu, arka arkaya iki kez kafa atma hedefine yaklaşıyor gibi görünüyor, ama ne kadar? Öğrenmenin en kolay yolu, ikinci rulodaki seçeneklerinizi düşünmektir:
   • İkinci atış bir bozuk para ise, başa dönüyoruz.
   • İkinci sefer de bir kupa ise, işimiz biter!
5. İki olayın da meydana gelme olasılığını nasıl hesaplayacağınızı öğrenin. Artık bir kupa atma şansınızın% 50 olduğunu biliyoruz, ancak art arda iki kez bir kupa atma şansınız nedir? Bu olasılığı hesaplamak için her ikisinin olasılığını çarpın. Bu durumda 0,5 x 0,5 = 0,25'tir. Elbette, bu aynı zamanda tura atma ve sonra da yazı tura atma şansınızdır, çünkü ikisinin de 0.5 olma şansı vardır: 0.5 x 0.5 = 0.25.
6. "Yazı ve yazı" sonucunu denkleme ekleyin. Artık bu olayın meydana gelme olasılığını hesapladığımıza göre, denklemi genişletmeye geçebiliriz. İlerlemeden atmayı iki kez boşa harcamamız için 0.25 (veya 1/4) şansımız var. Ama şimdi, almak istediğimiz sonucu ve daha önce attığımız 2'yi elde etmek için ortalama olarak x sayıda daha fazla atışa ihtiyacımız var. Denklem biçiminde, bu, şimdi denkleme ekleyebileceğimiz (0.25) (x + 2) olur:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
7. "Başlık, başlık" sonucunu denkleme ekleyin. Eğer kafa yuvarlarsanız, jetonların ilk iki atışıyla kafa yuvarlarsanız, işiniz biter. Sonucu tam olarak 2 atışta aldınız. Daha önce de belirttiğimiz gibi, bunun olma ihtimali 0.25'tir, dolayısıyla bunun denklemi (0.25) (2). Karşılaştırmamız şimdi tamamlandı:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
   • Olası her durumu düşündüğünüzden emin değilseniz, denklemin tamamlandığını kontrol etmenin kolay bir yolu vardır. Denklemin her bölümündeki ilk sayı, bir olayın meydana gelme olasılığını temsil eder. Bu her zaman 1'e kadar eklenecektir. Burada 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, yani her durumu dahil ettiğimizi biliyoruz.
8. Denklemi basitleştirin. Çarparak denklemi biraz daha kolaylaştıralım. Unutmayın, parantez içinde şuna benzer bir şey görürseniz: (0.5) (x + 1), ikinci parantez kümesindeki her terimle 0.5'i çarparsınız. Bu size şunları verir: 0,5x + (0,5) (1) veya 0,5x + 0,5. Denklemdeki her bir terim için bunu yapalım, sonra bu terimleri birleştirip biraz daha basit görünelim:
   • x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
   • x = 0,75x + 1,5
9. X için çözün. Herhangi bir denklemde olduğu gibi, onu hesaplamak için denklemin bir tarafındaki x'i izole etmeniz gerekecektir. Unutmayın, x "arka arkaya iki tur tur atmak için atmanız gereken ortalama jeton sayısı" anlamına gelir. X'i hesapladığımızda cevabımızı da bulmuş oluruz.
   • x = 0,75x + 1,5
   • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0.25x = 1.5
   • (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • x = 6
   • Ortalama olarak, iki kez tura atmadan önce 6 kez yazı tura atmanız gerekecektir.

Yöntem 3/3: Kavramı anlayın

1. Gerçekte beklenen değer nedir. Beklenti değerinin mutlaka en açık veya mantıklı sonuç olması gerekmez. Bazen bir beklenti değeri, belirli bir durumda imkansız bir değer bile olabilir. Örneğin, ödülü 10 € 'dan fazla olmayan bir oyun için beklenti değeri + 5 € olabilir. Beklenti değerinin gösterdiği şey, belirli bir olayın ne kadar değere sahip olduğudur. Bir oyunun beklenen değeri + 5 € ise, o zaman oyun başına alabileceğiniz zamana ve paraya değeceğini düşünüyorsanız onu oynayabilirsiniz. Başka bir oyunun beklenen değeri - 20 $ ise, o zaman onu yalnızca her oyunun 20 $ değerinde olduğunu düşünüyorsanız oynarsınız.
2. Bağımsız olaylar kavramını anlayın. Günlük yaşamda, çoğumuz bazı iyi şeyler olduğunda şanslı bir gün geçirdiğimizi düşünüyoruz ve günün geri kalanının da böyle olmasını bekliyoruz.Aynı şekilde, yeterince kaza geçirdiğimizi ve şimdi gerçekten eğlenceli bir şey yapılması gerektiğini düşünebiliriz. Matematiksel olarak işler bu şekilde gitmez. Normal bir bozuk para atarsanız, bir kafa veya bozuk para atma şansınız tamamen aynıdır. Zaten kaç kez attığın önemli değil; bir dahaki sefere fırlattığınızda hala aynı şekilde çalışır. Yazı tura atışı diğer atışlardan "bağımsızdır", bundan etkilenmez.
   • Madeni para atarken (veya başka bir şans oyununda) şanslı veya şanssız olabileceğiniz inancı, veya Artık tüm kötü şansınızın sona ermesi ve şansınızın sizin tarafınızda olması gerçeğine kumarbaz hile (veya kumarbazın yanılgısı) da denir. Bu, insanların şansın kendi taraflarında olduğunu düşündüklerinde veya "şanslı bir seri" olduklarını hissettiklerinde veya "şanslarının dönmek üzere olduğunu" hissettiklerinde riskli veya aptalca kararlar alma eğilimiyle ilgilidir.
3. Büyük sayılar yasasını anlayın. Beklenti değerinin gerçekten yararlı olmadığını düşünebilirsiniz, çünkü size nadiren bir durumun gerçek sonucunun ne olduğunu söyler. Bir rulet oyununun beklenen değerinin - € 1 olduğunu hesapladıysanız ve oyunu 3 kez oynarsanız, genellikle --10 € veya + 60 € veya başka bir sonuç elde edersiniz. "Büyük Sayılar Yasası", beklenti değerinin neden düşündüğünüzden daha yararlı olduğunu açıklamaya yardımcı olur: ne kadar çok oynarsanız, ortalama sonuç beklenti değerine o kadar yakın olur. Çok sayıda olaya baktığınızda, nihai sonucun beklenen değere yakın olma ihtimali yüksektir.

İpuçları

• Birden fazla sonucun mümkün olduğu durumlarda, sonuçları ve olasılıklarını kullanarak beklenen değeri hesaplamak için bilgisayarda bir elektronik tablo oluşturabilirsiniz.
• Yukarıdaki € hesaplamaları diğer para birimlerinde de çalışır.

Gereklilikler

• Kalem
• Kağıt
• Hesap makinesi