İçerik

• adımlar
• Yöntem 1/3: Bilinmeyen taraf nasıl bulunur
• Yöntem 2/3: Bilinmeyen Bir Açı Bulma
• Yöntem 3/3: Örnek Problemler
• İpuçları

Kosinüs teoremi trigonometride yaygın olarak kullanılmaktadır. Kenarlar ve açılar gibi bilinmeyen miktarları bulmak için düzensiz üçgenlerle çalışırken kullanılır. Teorem Pisagor teoremine benzer ve hatırlanması oldukça kolaydır. Kosinüs teoremi diyor ki, herhangi bir üçgende ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

adımlar

Yöntem 1/3: Bilinmeyen taraf nasıl bulunur

1. 1 Bilinen değerleri yazın. Bir üçgenin bilinmeyen tarafını bulmak için diğer iki kenarı ve aralarındaki açıyı bilmeniz gerekir.
   • Örneğin, bir XYZ üçgeni verildi. YX kenarı 5 cm, YZ kenarı 9 cm ve Y açısı 89°'dir. XZ tarafı nedir?
2. 2 Kosinüs teoremi formülünü yazın. formül: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, nerede ${ görüntü stili c}$ - bilinmeyen taraf, ${ görüntü stili çünkü {C}}$ - bilinmeyen tarafın karşısındaki açının kosinüsü, ${ görüntü stili a}$ ve ${ görüntü stili b}$ - iki iyi bilinen taraf.
3. 3 Bilinen değerleri formüle takın. Değişkenler ${ görüntü stili a}$ ve ${ görüntü stili b}$ bilinen iki tarafı ifade eder. Değişken ${ görüntü stili C}$ kenarlar arasında uzanan bilinen açıdır ${ görüntü stili a}$ ve ${ görüntü stili b}$.
   • Örneğimizde, XZ tarafı bilinmiyor, bu nedenle formülde şu şekilde gösterilir: ${ görüntü stili c}$... YX ve YZ kenarları bilindiği için değişkenlerle gösterilir. ${ görüntü stili a}$ ve ${ görüntü stili b}$... Değişken ${ görüntü stili C}$ Y açısıdır. Dolayısıyla formül şu şekilde yazılacaktır: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) çünkü {89}}$.
4. 4 Bilinen bir açının kosinüsünü bulun. Hesap makinesi ile yapın. Bir açı değeri girin ve ardından ${ görüntü stili COS}$... Bilimsel bir hesap makineniz yoksa, örneğin burada çevrimiçi bir kosinüs tablosu bulun. Ayrıca Yandex'de "X derecenin kosinüsünü" girebilirsiniz (X için açı değerini değiştirin) ve arama motoru açının kosinüsünü gösterecektir.
   • Örneğin, kosinüs 89 ° ≈ 0,01745'tir. Böyle: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Sayıları çarpın. Çarpmak ${ görüntü stili 2ab}$ bilinen bir açının kosinüsü ile.
   • Örneğin:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Bilinen tarafların karelerini katlayın. Unutmayın, bir sayının karesini alabilmek için kendisi ile çarpılması gerekir. Önce karşılık gelen sayıların karesini alın ve ardından elde edilen değerleri ekleyin.
   • Örneğin:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 İki sayıyı çıkarın. Bulacaksın ${ görüntü stili c ^ {2}}$.
   • Örneğin:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ görüntü stili c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Bu değerin karekökünü alın. Bunu yapmak için bir hesap makinesi kullanın. Bilinmeyen tarafı bu şekilde bulabilirsiniz.
   • Örneğin:
     ${ görüntü stili c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ görüntü stili { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ görüntü stili c = 10.2191}$
     Yani bilinmeyen kenar 10.2191 cm'dir.

Yöntem 2/3: Bilinmeyen Bir Açı Bulma

1. 1 Bilinen değerleri yazın. Bir üçgenin bilinmeyen açısını bulmak için üçgenin üç tarafını da bilmeniz gerekir.
   • Örneğin, bir RST üçgeni verildi. Kenar CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm.S açısının değerini bulun.
2. 2 Kosinüs teoremi formülünü yazın. formül: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, nerede ${ görüntü stili çünkü {C}}$ - bilinmeyen bir açının kosinüsü, ${ görüntü stili c}$ - bilinmeyen bir köşenin karşısındaki bilinen bir taraf, ${ görüntü stili a}$ ve ${ görüntü stili b}$ - diğer iki ünlü parti.
3. 3 Değerleri bulun a{ görüntü stili a}, B{ görüntü stili b} ve C{ görüntü stili c}. Sonra bunları formüle takın.
   • Örneğin, RT tarafı bilinmeyen S açısının karşısındadır, dolayısıyla RT tarafı ${ görüntü stili c}$ formülde. Diğer partiler ${ görüntü stili a}$ ve ${ görüntü stili b}$... Buna göre formül şu şekilde yazılacaktır: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) çünkü {C}}$.
4. 4 Sayıları çarpın. Çarpmak ${ görüntü stili 2ab}$ bilinmeyen açının kosinüsü ile.
   • Örneğin, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 çünkü {C}}$.
5. 5 Dik C{ görüntü stili c} bir meydanda. Yani, sayının kendisini çarpın.
   • Örneğin, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 çünkü {C}}$
6. 6 kareleri katla a{ görüntü stili a} ve B{ görüntü stili b}. Ama önce karşılık gelen sayıların karesini alın.
   • Örneğin:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 çünkü {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 çünkü {C}}$
7. 7 Bilinmeyen açının kosinüsünü izole edin. Bunu yapmak için miktarı çıkarın ${ görüntü stili bir ^ {2}}$ ve ${ görüntü stili b ^ {2}}$ denklemin her iki tarafından. Sonra denklemin her iki tarafını da bilinmeyen açının kosinüsündeki faktöre bölün.
   • Örneğin, bilinmeyen bir açının kosinüsünü izole etmek için, denklemin her iki tarafından 164'ü çıkarın ve ardından her bir tarafı -160'a bölün:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 çünkü {C}}$
     ${ görüntü stili -20 = -160 çünkü {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = çünkü {C}}$
8. 8 Ters kosinüsü hesaplayın. Bu bilinmeyen açının değerini bulacaktır. Hesap makinesinde ters kosinüs fonksiyonu gösterilir. ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Örneğin, 0.0125'in arkosinusu 82.8192'dir. Yani S açısı 82.8192 ° 'dir.

Yöntem 3/3: Örnek Problemler

1. 1 Üçgenin bilinmeyen tarafını bulun. Bilinen kenarlar 20 cm ve 17 cm, aralarındaki açı ise 68°'dir.
   • Size iki kenar ve aralarındaki açı verildiği için kosinüs teoremini kullanabilirsiniz. Formülü yazın: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Bilinmeyen tarafı ${ görüntü stili c}$... Bilinen değerleri formüle takın: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) çünkü {68}}$.
   • Hesaplamak ${ görüntü stili c ^ {2}}$, matematiksel işlemlerin sırasını gözlemleyerek:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) çünkü {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Denklemin her iki tarafının karekökünü alın. Bilinmeyen tarafı şu şekilde bulursunuz:
     ${ görüntü stili { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ görüntü stili c = 20.8391}$
     Yani bilinmeyen kenar 20.8391 cm'dir.
2. 2 GHI üçgeninde H açısını bulun. H köşesine bitişik iki kenar 22 ve 16 cm, H köşesinin karşısındaki kenar 13 cm'dir.
   • Üç tarafı da verildiği için kosinüs teoremi kullanılabilir. Formülü yazın: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Bilinmeyen köşenin karşısındaki kenar ${ görüntü stili c}$... Bilinen değerleri formüle takın: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) çünkü {C}}$.
   • Ortaya çıkan ifadeyi basitleştirin:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 çünkü {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 çünkü {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 çünkü {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 çünkü {C}}$
   • Kosinüsü ayırın:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 çünkü {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 çünkü {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = çünkü {C}}$
   • Ters kosinüsü bulun. Bilinmeyen açıyı şu şekilde hesaplarsınız:
     ${ displaystyle 0.8111 = çünkü {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Böylece H açısı 35.7985 ° 'dir.
3. 3 Yolun uzunluğunu bulun. Nehir, Hilly ve Marsh yolları bir üçgen oluşturur. River Trail'in uzunluğu 3 km, Hilly Trail'in uzunluğu 5 km; bu izler birbirleriyle 135 ° açıyla kesişir. Bataklık izi, diğer parkurların iki ucunu birbirine bağlar. Bataklık Yolu'nun uzunluğunu bulun.
   • Yollar bir üçgen oluşturur. Üçgenin kenarı olan bilinmeyen yolun uzunluğunu bulmanız gerekiyor. Diğer iki yolun uzunlukları ve aralarındaki açı verildiği için kosinüs teoremi kullanılabilir.
   • Formülü yazın: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Bilinmeyen yol (Bataklık) olarak belirtilecektir. ${ görüntü stili c}$... Bilinen değerleri formüle takın: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) çünkü {135}}$.
   • Hesaplamak ${ görüntü stili c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) çünkü {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Denklemin her iki tarafının karekökünü alın. Bilinmeyen yolun uzunluğunu şu şekilde bulursunuz:
     ${ görüntü stili { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ görüntü stili c = 7.4306}$
     Yani Bataklık Yolu'nun uzunluğu 7.4306 km'dir.

İpuçları

• Sinüs teoremini kullanmak daha kolaydır. Bu nedenle, önce verilen probleme uygulanıp uygulanamayacağını öğrenin.