Yazar:
Lewis Jackson
Yaratılış Tarihi:
12 Mayıs Ayı 2021
Güncelleme Tarihi:
1 Temmuz 2024
İçerik
Tersine çevirme genellikle matematikte problemli problemleri başka şekillerde basitleştirmek için kullanılır. Örneğin, bir kesrin tersiyle çarpmak, onu doğrudan o sayıya bölmekten daha kolaydır. Bu tam tersidir. Aynı şekilde, matris için kesir işareti olmadığından, matrisin tersini çarpmanız gerekecektir. Bir 3x3 matrisinin ters matrisini hesaplamak çok sıkıcı olabilir, ancak dikkate değer bir sorundur. Bunu yapmak için gelişmiş bir grafik hesap makinesi de kullanabilirsiniz.
Adımlar
Yöntem 1/3: Ters matrisi bulmak için ek bir matris oluşturun
Matrisin determinantını kontrol edin. İlk adım: matrisin determinantını bulun. Determinant 0 ise, bu yapılır: bu matris tersine çevrilemez. Bir matris M'nin determinantı det (M) olarak gösterilebilir.
- Bir 3x3 matrisin tersini bulmak için önce bunun determinantını hesaplamalısınız.
- Bir matrisin determinantını nasıl bulacağınızı gözden geçirmek için 3x3 matris determinantını bulma makalesine bakın.
Orijinal matris transpozisyonu. Transpozisyon, matrisi ana köşegen boyunca yansıtmak veya başka bir deyişle, element (i, j) ve element (j, i) değiş tokuşu anlamına gelir. Bir matrisin elemanlarını transpoze ederken, ana köşegen (sol üst köşeden sağ alt köşeye uzanan) sabit kalır.- Transpozisyonu anlamanın bir başka yolu da matrisi yeniden yazmanızdır, böylece ilk satır ilk sütun, orta satır orta sütun ve üçüncü satır üçüncü sütun olur. Yukarıdaki resimdeki renk öğelerine ve sayıların yeni konumuna dikkat edin.
Her 2x2 alt matrisin determinantını bulun. Yeni 3x3 yer değiştirme matrisinin tüm öğeleri, karşılık gelen 2x2 'alt' matrisine bağlanır. Her bir öğenin alt matrisini bulmak için, önce ilk öğenin satırını ve sütununu vurgulayın. 5 öğenin tamamı vurgulanacaktır. Kalan dört öğe alt matrisi oluşturur.- Yukarıdaki örnekte, ikinci satır, birinci sütundaki öğenin bir alt matrisini bulmak isterseniz, ikinci satırdaki ve ilk sütundaki beş sözcük parçasını vurgularsınız. Kalan dört öğe, karşılık gelen alt matristir.
- Yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi, çapraz olarak çarparak ve birbirinden iki ürün çıkararak her bir alt matrisin determinantını bulun.
- Alt matrisler ve kullanımları hakkında daha fazla bilgi edinmek için daha fazlasını okuyun.
Cebirsel alt bölümlerden oluşan bir matris yapın. Önceki adımdan elde edilen sonucu, her bir alt matris determinantını orijinal matristeki karşılık gelen konuma yerleştirerek cebirsel alt bölümlerden oluşan yeni bir matrise yerleştirin. Böylece, orijinal matrisin elemanından (1,1) hesaplanan determinant (1,1) konumuna yerleştirilecektir. Daha sonra, yukarıdaki şekilde gösterilen referans tablosuna göre bu yeni matrisin değiştirme işaretini değiştirmeniz gerekecektir.- İşareti belirlerken, öndeki ilk molekülün işareti tutulur. İkinci elementin işareti tersine çevrilir. Üçüncü öğenin işareti korunur. Matrisin geri kalanı için böyle devam edin. Referans tablosundaki (+) veya (-) işaretinin, sonuna kadar elemanın pozitif veya negatif bir işaret taşıyacağını göstermediğini unutmayın. Yalnızca öğelerin sağlam tutulacağını (+) veya (-) ile değiştirileceğini gösterirler.
- Cebirsel ekler hakkında daha fazla bilgi için matris temellerine bakın.
- Bu adımda elde ettiğimiz nihai sonuç, orijinal matrisin tamamlayıcı matrisidir. Bazen eşlenik matris olarak da adlandırılır ve Adj (M) olarak gösterilir.
Tamamlayıcı matrisin tüm öğelerini determinanta bölün. İlk adımda hesapladığınız M matrisinin determinantını kullanın (matrisin tersine çevrilebilir olup olmadığını kontrol etmek için). Şimdi matrisin her elemanını bu değere bölün. Her bölümün bölümünü orijinal elemanın konumuna koyun ve orijinal matrisin ters matrisini elde ederiz.
- Çizimde sunulan örnek matrisin determinantı 1'dir. Bu nedenle, tamamlayıcı matrisin tüm elemanlarını determinanta böldüğümüzde, kendisini elde ederiz (her zaman bu kadar şanslı olmayacaksınız). .
- Bölmek yerine, bazı belgeler bu adımı M'nin her elemanını 1 / det (M) ile çarparak gösterir. Matematiksel olarak eşdeğerdirler.
Yöntem 2/3: Ters matrisi bulmak için doğrusal satırı azaltın
Birim matrisi orijinal matrise ekleyin. M taban matrisini yazın, bu matrisin sağına dikey bir çizgi çizin ve ardından bu satırın sağına birim matrisi yazın. Bu noktada, üç satırlı ve altı sütunlu bir matrisimiz var.
- Özdeşlik matrisinin, ana köşegendeki tüm elemanların, sol üst köşeden sağ alt köşeye, 1'e eşit ve dinlenme konumlarındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu özel bir matris olduğunu unutmayın.
Doğrusal sıra küçültme gerçekleştirin. Buradaki amaç, yeni genişletilmiş matrisin sol kısmında birim matrisi oluşturmaktır. Soldaki satır küçültme adımlarını gerçekleştirirken, sağda karşılık gelen kısmı - birim matrisiniz olan kısmı - yapmanız gerekir.
- Satır azaltmanın, matrisin ayrı ayrı öğelerini izole etmek için, skaler çarpma ve satır toplama veya çıkarma kombinasyonu olarak yapıldığını unutmayın.
Birim matris oluşana kadar devam edin. Doğrusal indirgemeye, genişletilmiş matrisin sol kısmında kimlik matrisi görünene kadar devam edin (köşegendeki öğeler 1'e, diğer öğeler 0'a eşittir). Bu adıma ulaşıldığında, dikey bölücünün sağ kısmı, orijinal matrisin ters matrisidir.
Ters matrisi yeniden yazın. Şu anda dikey bölücünün sağ tarafında bulunan ve sizin ters matrisiniz olan öğeleri çoğaltın. İlan
Yöntem 3/3: Cep hesap makinesiyle ters matrisi bulun
Matrisleri çözebilen bir hesap makinesi seçin. Basit bir dört fonksiyonlu hesap makinesi, ters matrisi doğrudan sizin için bulamayacaktır. Ancak, matematiksel tekrar nedeniyle, Texas Instruments TI-83 veya TI-86 gibi gelişmiş bir grafik hesap makinesi, yapılacak işinizi büyük ölçüde azaltabilir.
Matrisi hesap makinesine girin. Öncelikle, cihazınızda mevcutsa Matrix tuşuna basarak hesap makinenizin Matrix işlevini girin. Texas Instruments makinesiyle, 2 Matrix'e basmanız gerekecek.
Düzenle alt menüsünü seçin. Bu alt menüye erişmek için, tasarımına bağlı olarak bilgisayar klavyesinin üst satırında bulunan ok düğmelerini kullanmanız veya uygun işlev tuşlarını seçmeniz gerekebilir.
Matrisiniz için bir isim seçin. Cep hesap makinelerinin çoğu, A'dan J'ye kadar harf olarak adlandırılan 3 ila 10 matrisle çalışmak üzere donatılmıştır. Normalde başlayalım. İsim seçimini onaylamak için Enter tuşuna basın.
Matris boyutunu girin. Bu makale 3x3 matrislere odaklanmaktadır. Bununla birlikte, cep hesaplayıcıları daha büyük matrisleri işleyebilir. Satır sayısını girin, Enter'a basın, ardından sütun numarasını girin ve Enter'a basın.
Matrisin her bir öğesini girin. Bilgisayar ekranında bir matris görüntülenecektir. Daha önce matris işlevi ile çalıştıysanız, daha önce çalıştığınız matris ekranda görünecektir. İmleç, matrisin ilk öğesini işaretleyecektir. Çözmek istediğiniz matris değerini girin ve Enter tuşuna basın. İmleç, önceki değerlerin üzerine yazarak otomatik olarak sonraki öğeye geçecektir.
- Negatif sayılar girmek istiyorsanız, eksi tuşunu değil, hesap makinenizin eksi (-) düğmesini kullanın. Matris işlevi doğru okunmayacaktır.
- Gerekirse matris içinde hareket etmek için hesap makinenizdeki ok tuşlarını kullanabilirsiniz.
Matris işlevinden çıkar. Tüm matris değerini girdikten sonra, Çık - Çıkış tuşuna basın (veya gerekirse 2 Çık). Bu sayede Matrix fonksiyonundan çıkarsınız ve hesap makinesinin ana ekranına dönersiniz.
Ters matrisi bulmak için ters tuşunu kullanın. İlk olarak, Matrix işlevini yeniden açın ve matrisinize vermek için kullandığınız matris adını seçmek için İsimler düğmesini kullanın (olabilir). Ardından, hesap makinesinin ters tuşuna basın. Cihazınıza bağlı olarak 2. düğmeyi kullanmanız gerekebilir. Görüntü ekranı belirir. Enter tuşuna basın, ekranınızda ters matris görünecektir.
- Tek tek tıklamalarla A ^ -1 girmeye çalışırken bilgisayarınızdaki ^ düğmesini kullanmayın. Bilgisayarlar bu matematiği anlamayacak.
- Ters tuşuna bastığınızda bir hata mesajı alırsanız, ana matrisinizin tersine çevrilebilir olmaması daha olasıdır. Belki de geri dönüp hatanın sebebinin bu olup olmadığını belirlemek için niteliksel olmalısınız.
Ters matrisi doğru cevaba dönüştürün. Bilgisayar tarafından döndürülen ilk sonuç ondalık olarak görüntülenir. Bu, çoğu amaç için mutlaka "doğru" yanıt değildir. Gerekirse bu ondalık cevabı kesire çevirmelisiniz (yeterince şanslıysanız, tüm sonuçlarınız tam sayıdır. Ancak, çok nadirdir).
- Belki hesap makinenizin ondalık sayıları otomatik olarak kesirlere dönüştüren bir işlevi vardır. Örneğin, TI-86'yı kullanırken, Matematik işlevine gidebilir, Misc'i ve ardından Frac'ı seçip Enter tuşuna basabilirsiniz. Ondalık sayılar otomatik olarak kesir olarak gösterilecektir.
- Çoğu grafik hesap makinesinde, matris işlevi kullanmadan bir matris girmenize izin veren köşeli parantezler (TI-84 için, 2. + x ve 2. + -) bulunur. Not: Bir hesap makinesi, enter / eşit tuşu kullanılıncaya kadar bir matrisi formatlamayabilir (yani her şey aynı satırda olacak ve pek hoş olmayacaktır). İlan
Tavsiye
- Yalnızca sayıları değil, aynı zamanda değişkenleri, bilinmeyenleri ve hatta cebirsel ifadeleri de içeren bir matrisin tersini bulmak için bu adımları takip edebilirsiniz.
- Tüm adımları not edin çünkü 3x3 matrisin tersini sadece matematik yaparak bulmak son derece zordur.
- 30x30 matrislere kadar ters matrisleri bulmanıza yardımcı olacak hesap makinesi programları vardır.
- Kullanılan yöntemden bağımsız olarak, M ile M'yi çarparak sonucun doğruluğunu kontrol edin. M * M = M * M = I olduğunu doğrulayacaksınız. Burada, I birim matrisidir ana köşegen boyunca yer alan elemanlardan 1 ve başka yerlerde sıfırlardan oluşur. Böyle bir sonuç alamazsanız, bir yerlerde yanlış yapmış olmalısınız.
Uyarı
- Her 3x3 matrisin ters matrisi yoktur. Eğer determinant 0 ise, o matris tersinir değildir (Formülde det (M) ile böldüğümüzü unutmayın. Sıfıra bölmek tanımsız bir işlemdir).
