Küp köklerini elle hesaplayın

İçerik

Adım atmak
Bölüm 1/3: Örnek bir ödev hazırlamak
Bölüm 2/3: Tekrarlanan tahminle küp kökünü bulma
İpuçları
Uyarılar
Gereklilikler

Bir hesap makinesi kullanarak, herhangi bir sayının küp kökünü hesaplamak, birkaç tuşa basmaktan başka bir şey değildir. Ama belki bir hesap makineniz yoktur veya bir küp kökünü serbest elinizle çalıştırma yeteneğinizle arkadaşlarınızı etkilemek isteyebilirsiniz. İlk bakışta biraz zor görünen, ancak biraz pratikle çok basit çalışan bir yöntem var. Aritmetik beceriler ve kübik sayıları hesaplama alanında bazı hazır bilgilere sahip olmak yararlıdır.

Adım atmak

Bölüm 1/3: Örnek bir ödev hazırlamak

Problemi çizin. Bir sayının küp kökünü çözmek, burada ve burada bazı farklılıklar olan uzun bir bölümü çözmek gibi görünecektir. İlk adım, ifadeyi doğru yazmaktır.
- Küp kökünü belirlemek istediğiniz sayıyı yazın. Sayıları, virgül başlangıç noktası olacak şekilde üçlü gruplar halinde yazın. Bu örnekte, 10'un küp kökünü belirleyeceksiniz. Bunu 10.000000 olarak yazın. Cevabın doğruluğu için sıfırlara ihtiyaç vardır.
- Sayının üzerine bir küp karekök çizin. Bu, uzun bölmedeki çizgi ile aynı amaca hizmet eder. Tek fark, sembolün şeklidir.
- Orijinal numarada doğrudan virgülün üstüne, çizginin üstüne bir virgül koyun.
Birimlerin küplerini bilin. Bunları hesaplamalarınızda kullanacaksınız. Aşağıdaki üçüncü yetkilerle ilgilidir:
- 13=1∗1∗1=1{ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Cevabınızın ilk basamağını belirleyin. Küp için mümkün olan en büyük sonucu veren, ilk üç sayı kümesinden daha az olan bir sayı seçin.
  - Bu örnekte, birbiriyle çarpılan ilk üç sayı kümesi 10'a eşittir. 10'dan küçük olan en büyük küpü bulun, yani 8 ve küp kökü 2'dir.
  - 2 rakamını 10 rakamının üstüne, karekökün üzerine yazın. 23{ displaystyle 2 ^ {3}}Sonraki basamak için kurulumu yapın. Bir sonraki üç sayı grubunu diğerlerine yazın ve elde edilen sayının soluna kısa bir dikey çizgi çizin. Bu, küp kökünüzün çözümünde bir sonraki basamağı belirlemek için kullandığımız sayı olacaktır. Bu örnekte, bu, indirdiğiniz üç sıfır grubuyla önceki çıkarma toplamının kalan 2'sinden oluşturulan 2000 olur.
    - Dikey çizginin soluna, sonraki bölenin çözümünü üç ayrı sayının toplamı olarak yazın. Üç boş noktanın altını artı işaretleriyle altını çizerek bu numaralar için boş alanları belirtin.
  - Sonraki bölenin başlangıcını bulun. Bölenin ilk bölümü için, karekök işaretinin üstünde olanın karesinin üç yüz katı yazın. Bu durumda 2'dir; 2 ^ 2, 4'tür ve 4 * 300 = 1200. Öyleyse 1200'ünü ilk boş alana yaz. Çözümün bu adımı için bölen 1200, artı bir anda hesaplayacağınız başka bir şey olur.
  - Küp kökünüzdeki bir sonraki sayıyı bulun. Bölen ile neyi çarpabileceğinizi seçerek (1200'ler ve başka bir şey) çözümünüzün bir sonraki basamağını bulun ve ardından onu 2000'in kalanından çıkarın. Bu yalnızca 1 olabilir, çünkü 2 çarpı 1200 eşittir 2400, ki bu daha büyüktür 2000. 1 sayısını karekök işaretinin üzerindeki bir sonraki boşluğa yazın.
  - Bölenin kalanını bulun. Çözümün bu adımındaki bölen üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm, sahip olduğunuz 1200'dür. Böleni tamamlamak için şimdi iki terim daha eklemeniz gerekecek.
    - Şimdi, çözümünüzdeki karekök işaretinin üzerindeki iki basamağın her birinin 3 kez 10 katını hesaplayın. Bu basit alıştırma için bu 3 * 10 * 2 * 1 anlamına gelir, bu da 60'a eşittir. Bunu zaten sahip olduğunuz 1200'e ekleyin ve 1260 elde edin.
    - Son olarak, son basamağın karesini ekleyin. Bu örnekte 1; ve 1 ^ 2 hala 1'dir. Yani toplam bölen 1200 + 60 + 1 veya 1261'dir. Bunu dikey çizginin soluna yazın.
  - Çarpın ve çıkarın. Çözümünüzün son basamağını - bu durumda, 1 sayısı - az önce hesapladığınız bölenle (1261) çarparak çözümün bu bölümünü yuvarlayın. 1 * 1261 = 1261. Bunu 2000'in altına yaz ve 1261'i çıkararak 739 elde et.
  - Daha doğru bir cevap için daha ileri gitmeye karar verin. Her adımın çıkarılmasını tamamladıktan sonra, cevabınızın yeterince kesin olup olmadığını kontrol etmelisiniz. 10'un küp kökü için, ilk eksi toplamdan sonra, küp kökü sadece 2 idi ve bu gerçekten kesin değil. Şimdi, ikinci turdan sonra çözüm 2.1'dir.
    - Küpü kullanarak bu sonucun kesinliğini kontrol edebilirsiniz: 2.1 * 2.1 * 2.1. Sonuç 9.261'dir.
    - Sonucun yeterince kesin olduğunu düşünüyorsanız, durabilirsiniz. Daha kesin bir cevap istiyorsanız, başka bir turdan geçmelisiniz.
  - Bir sonraki turun bölenini belirleyin. Bu durumda, daha fazla alıştırma ve daha kesin bir cevap için, aşağıdaki gibi başka bir tur için adımları tekrarlayın:
    - Sonraki üç sayı grubunu indirin. Bu durumda, bunlar 739.000'i oluşturmak için geri kalan 739'dan sonra gelen üç sıfırdır.
    - Bölen, şu anda karekök işaretinin üzerindeki sayının karesinin 300 katı ile başlayın. Bu 300∗212{ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Bölen ile sonuç çarpın. Bir sonraki turda bölen'i hesapladıktan ve çözümünüzü bir basamak daha genişlettikten sonra, aşağıdaki gibi devam edin:
      - Bölen ile çözümünüzün son rakamını çarpın. 135.475 * 5 = 677.375.
      - Çıkarın. 739.000-677.375 = 61.625.
      - Çözüm 2.15'in yeterince doğru olup olmadığını düşünün. Küpünü hesapla ve alacaksın ${ displaystyle 2,15 * 2,15 * 2,15 = 9,94}$ Son cevabınızı yazın. Karekök üzerindeki sonuç, üç anlamlı basamaklı bir doğrulukla küp köküdür. Bu örnekte, 10'un küp kökü 2,15'e eşittir. Bunu, 10'a yuvarlanabilen 2,15 ^ 3 = 9,94'ü hesaplayarak kontrol edin. Daha doğru bir cevaba ihtiyacınız varsa, tatmin olana kadar bunu yapmaya devam edin.

Bölüm 2/3: Tekrarlanan tahminle küp kökünü bulma

Üst ve alt sınırları ayarlamak için kübik sayıları kullanın. Belirli bir sayının küp kökü sorulduğunda, hedef sayınızdan büyük olmaksızın, ona mümkün olduğunca yakın bir küp seçerek başlayın.
- Örneğin, 600'ün küp kökünü bulmak istiyorsanız, şunu unutmayın (veya bir küp küp kullanın) 83=512{ displaystyle 8 ^ {3} = 512}Sonraki rakamı tahmin edin. Belirli kübik sayılar hakkındaki bilginizle ilk basamağı silersiniz. Sonraki basamak için, hedef numaranızın iki sınır numarası arasında nerede olduğuna bağlı olarak 0 ile 9 arasında bir sayı tahmin edin.
  - Örnek problemde, 600 (hedef numaranız), 512 ile 729 arasındaki sınır sayılarının yaklaşık yarısına denk gelir. Dolayısıyla, sonraki sayınız olarak 5'i seçersiniz.
- Tahmininizi onun küpünü belirleyerek test edin. Hedef sayıya ne kadar yakın olduğunuzu öğrenmek için şu anda üzerinde çalıştığınız tahmini çarpmayı deneyin.
  - Bu örnekte, çoğalıyorsunuz 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}Tahmininizi gerektiği gibi ayarlayın. Son tahmininizin küpüne yükselttikten sonra, sonucu hedef numaranızla karşılaştırın. Sonuç hedeften büyükse, tahmininiz daha küçük olmalıdır. Sonuç hedeften azsa, hedefe ulaşana kadar yukarı doğru ayarlamanız gerekir.
    - Örneğin, bu açıklamada 8,53{ displaystyle 8,5 ^ {3}}Daha doğru bir cevap için sonraki rakamı tahmin edin. Cevabınız istediğiniz kadar doğru olana kadar 0'dan 9'a kadar sayıları tahmin etme prosedürüne devam edin. Her tahmin turundan önce, son hesaplamanızın sınır numaraları arasındaki konumunu kontrol ederek başlarsınız.
      - Bu örnek alıştırmada, son hesaplamalarınız şunu gösteriyor: ${ displaystyle 8,4 ^ {3} = 592,7}$ Tahmin etmeye ve ayarlamaya devam edin Bunu gerektiği kadar yapın, tahmininizi kübik kuvvete yükseltin ve hedef sayıya kıyasla nasıl olduğunu görün. Hedef sayının hemen altında veya hemen üstünde olan sayıları arayın.
        Bu örnek alıştırma için şunu belirterek başlayacaksınız: ${ displaystyle 8,44 * 8,44 * 8,44 = 601,2}$ İstenilen doğruluğa ulaşana kadar devam edin. Çözümünüz istediğiniz kadar doğru olana kadar gerekli olduğu sürece tahmin etmeye, karşılaştırmaya ve yeniden tahmin etmeye devam edin. Her ondalık basamakla birlikte, hedef sayılarınızın gerçek sayıya gittikçe yaklaştığını unutmayın.
        600 örneğinin küp kökü için, iki ondalık sayı varsayarsak, hedef sayıdan 8.43 kadar 1'den daha az uzaktasınız. Üç ondalık basamağa devam ederseniz, göreceksiniz ki ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599,93}$ Newton'un binomium'unu gözden geçirin. Bu algoritmanın küp köklerini belirlemede neden işe yaradığını anlamak için önce küpün iki terimli olarak neye benzediğini düşünmelisiniz. Muhtemelen bunu lise matematiğinde öğrendiniz (ve çoğu insan gibi, muhtemelen bunu çabucak unuttunuz). İki değişken seçin ${ displaystyle A}$ İki terimliyi kübik biçimde yazın. Şimdi önce küpü belirleyip sonra küp kök çözümünün neden çalıştığına bakarak geriye doğru çalışıyoruz. Değerlerine ihtiyacımız var ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ Uzun bölmenin anlamını bilin. Küp kökü yönteminin tıpkı uzun bölme gibi çalıştığını unutmayın. Uzun bölmede, iki faktörün birlikte çarpılarak başladığınız sayıyı verdiğini görürsünüz. Bu hesaplamada, aradığınız sayı (sonunda karekökün üzerinde görünen sayı) küp köküdür. Bu, (10A + B) terimine eşit olduğu anlamına gelir. Cevapla olan ilişkiyi anladığınız sürece gerçek A ve B artık alakasızdır.
        Genişletilmiş sürümü görüntüleyin. Newton'un binomium'una baktığınızda, küp kök algoritmasının neden doğru olduğunu görebilirsiniz. Algoritmanın her adımındaki bölenin, hesaplamanız ve eklemeniz gereken dört terimin toplamına nasıl eşit olduğunu görün. Bu terimler aşağıdaki gibi ortaya çıkar:
        İlk terim 1000'in katlarını içerir. Önce kübe yükseltilebilecek bir sayı seçersiniz ve yine de ilk sayı olarak uzun bölme aralığı içinde kalırsınız. Bu, binomda 1000A ^ 3 terimini verir.
        Newton'un binomyumunun ikinci terimi, katsayısı olarak 300'dür. (Bu, ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ Saatin doğruluğu artıyor. Uzun bölme üzerinde çalışırken, tamamladığınız her adım cevabınıza büyük bir doğruluk sağlar. Örneğin, bu makalede çalışılan örnek problem 10'un küp kökünü belirlemek içindir. İlk adımda çözüm 2'dir, çünkü ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ yaklaşır, ancak 10'dan küçüktür. Aslında, tutar ${ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ . İkinci turdan sonra çözümünüz 2.1. Bunu çözdükten sonra, alacaksın ${ displaystyle 2,1 ^ {3} = 9,261}$ istenen sonuca çok daha yakın olan (10). Üçüncü turdan sonra 2,15 puanınız var, bu da size ${ displaystyle 2,15 ^ {3} = 9,94}$ . Üç sayıdan oluşan gruplar halinde çalışmaya devam edin ve istediğiniz kadar doğru bir yanıt alacaksınız.